Classe monotona

Sia ${\mathcal {X}}$ un insieme e sia ${\mathcal {C}}$ un sottoinsieme dell'insieme delle parti di ${\mathcal {X}}$, ${\mathcal {P(X)}}$. Allora ${\mathcal {C}}$ si dice classe monotona se:

• $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {C}}$ e $A_{n}\uparrow A\Rightarrow A\in {\mathcal {C}}$,
• $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {C}}$ e $A_{n}\downarrow A\Rightarrow A\in {\mathcal {C}}$.

Si noti che l'intersezione di un'arbitraria famiglia di classi monotone è ancora una classe monotona.
Se ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {P(X)}}$, l'intersezione di tutte le classi monotone contenenti ${\mathcal {E}}$ si dice classe monotona generata da ${\mathcal {E}}$.

Lemma della classe monotona

Risultato importante è il cosiddetto Lemma della classe monotona, il quale afferma che:
Sia ${\mathcal {X}}$ un'algebra, allora la classe monotona generata da ${\mathcal {X}}$ coincide con la sigma-algebra( o σ-algebra) generata da ${\mathcal {X}}$.

Voci correlate

• Lemma di Dynkin
• Sigma-algebra
• Teorema di Fubini