Cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

Equazione cartesiana

Fissiamo due punti $A$ e $B$ , in modo che $A$ coincida con l'origine degli assi e $B$ sia posto a distanza $d$ da esso. Un generico punto $P$ del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

{\frac {AP}{BP}}=k

,

dove $k$ è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {\left(x-d\right)^{2}+y^{2}}}}=k

,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

x^{2}+y^{2}=k^{2}\left(x-d\right)^{2}+k^{2}y^{2}

.

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

x^{2}+y^{2}-{\frac {2k^{2}d}{\left(k^{2}-1\right)}}x+{\frac {k^{2}d^{2}}{\left(k^{2}-1\right)}}=0

.

Proprietà

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

il centro del cerchio è posto in $C\left({\frac {k^{2}}{k^{2}-1}}d,0\right)$ , e si trova sempre sul prolungamento del segmento $AB$ ;
il raggio del cerchio vale ${\frac {kd}{k^{2}-1}}$ ;
per $k=1$ il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento $AB$ ; per $k>1$ il cerchio contiene il punto $B$ ; per $0<k<1$ il cerchio contiene il punto $A$ ;
quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento $AB$ .