Cerchio di Apollonio

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La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

Equazione cartesiana[modifica | modifica wikitesto]

Fissiamo due punti e , in modo che coincida con l'origine degli assi e sia posto a distanza da esso. Un generico punto del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

,

dove è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

.

Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:

.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

  • il centro del cerchio è posto in , e si trova sempre sul prolungamento del segmento ;
  • il raggio del cerchio vale ;
  • per il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento ; per il cerchio contiene il punto ; per il cerchio contiene il punto ;
  • quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento .

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