Carico critico euleriano

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Carico critico di Eulero)
Fenomendo di instabilità a carico di punta (l'animazione è rappresentativa del fenomeno solo nei suoi fotogrammi iniziali, mentre è priva di senso quando viene mostrata la trave chiudersi ad anello)

Si dice carico critico euleriano, per la teoria elastica della trave, quella forza di compressione il cui valore porta indefinitamente ad inflessione il solido snello su cui agisce, generando instabilità a carico di punta.

Caso in assenza di deformazioni taglianti[modifica | modifica wikitesto]

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Schema statico

Prendendo in considerazione un’asta realizzata con un materiale elastico lineare, soggetta ad uno sforzo normale centrato N e vincolata agli estremi con lo schema di semplice appoggio, la sollecitazione, nell’ipotesi di asta indeformata vale semplicemente {\sigma}= \frac{N}{A}.

Supponendo che l’asta subisca uno sbandamento in modo che la sua linea d’asse (deformata) sia descritta dalla curva di equazione y (x), la forza N produce anche un momento N y (x), a cui si oppone il momento interno che, se si confonde la curvatura con la derivata seconda, vale E J y'' (x).

La condizione di equilibrio, per cui la configurazione deformata sia in equilibrio con la forza esterna, impone che la somma delle forze, interna ed esterna, sia nulla:

E J y'' (x) + N y (x) = 0 \

La cui soluzione, con le condizioni al contorno y (0) = y (L) = 0 è

y (x) = A \cos(\alpha x) + B \sin(\alpha x) \

dove

\alpha = \sqrt{\frac{N}{EJ}}

ed A e B sono costanti che dipendono dalle condizioni al contorno. Dalla condizione y (0) = A = 0, segue che la prima delle due costanti è nulla. Considerando che y (L) = B \sin(\alpha L) = 0, che ha due soluzioni possibili:

  • se \sin(\alpha L) \ne 0, deve risultare B = 0. In questo caso la soluzione dell’equazione è y (x) \equiv 0, ovvero la sola configurazione di equilibrio è quella indeformata.
  • se \sin(\alpha L) = 0 allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di B, pertanto esistono infinite configurazioni equilibrate (equilibrio indifferente).

La condizione \sin (\alpha L) = 0 implica che \alpha L = n \pi, dove n indica un intero positivo. Ricordando la definizione di \alpha, si ha che la precedente condizione è soddisfatta se

\frac{N}{EJ} L^2 = n^2 \pi^2

e questo si verifica per quei valori di N tali che

N_n = n^2 \pi^2 \frac{EJ}{L^2}

Il più piccolo dei valori di N_n corrisponde al passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile. Tale valore è quello per n = 1, ed è detto il carico critico euleriano dell’asta compressa:

N_{cr} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1}

Indicando con N_{cr} la forza critica, con J_{min} il minimo fra i momenti d'inerzia della sezione trasversale, E il modulo di elasticità longitudinale, l_1 è la lunghezza libera di inflessione, ovvero la distanza tra due flessi nella configurazione di trave deformata. Questo valore lo si ricava facendo uso di appositi coefficienti che vanno a moltiplicare la lunghezza della trave. Il valore di questi coefficienti dipende dal tipo di vincolo ed è tanto maggiore quanto minore è il grado di vincolo della trave. Avremo quindi:

  • l_1 = 2l per trave incastrata ad un estremo e libera all'altro;
  • l_1 = l per trave incernierata alle due estremità;
  • l_1 = 0,7l per trave incastrata ad un estremo ed articolata all'altro;
  • l_1 = 0,5l per trave incastrata ad ambedue gli estremi.

Tensione critica[modifica | modifica wikitesto]

Dal carico critico ne deriva la tensione critica, cioè il valore della tensione raggiunto dall'asta quando N = N_{cr}

\sigma_{cr} = \frac{N_{cr}}{A} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1 A} = \pi^2 \frac{E}{\lambda^2}

con

\lambda^2 = \frac{l^2_1 A}{J} = \frac{l^2_1}{\rho^2}.

La quantità \lambda viene chiamata "snellezza dell'asta" o semplicemente "snellezza".

Caso con deformazioni taglianti[modifica | modifica wikitesto]

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione della linea elastica è

\frac{d^2y(x)}{dx^2} = -\frac{M(x)}{EJ} + \frac{\chi}{GA} \frac{dT(x)}{dx}

Sostituendo l'espressione di M e di T si ottiene

\frac{d^2y(x)}{dx^2} = -\frac{N}{EJ}y(x) + \frac{\chi}{GA} N\frac{ d^2y(x)}{dx^2}

Da quest'ultima relazione si ottiene l'equazione differenziale del problema:

\frac{d^2y(x)}{dx^2} \left( 1 - N \frac{\chi}{GA} \right) = -\frac{N}{EJ}y(x) \Rightarrow \frac{d^2y(x)}{dx^2} + \frac{N}{EJ \left( 1 - N \frac{\chi}{GA} \right)}y(x) = 0 \Rightarrow \frac{d^2y(x)}{dx^2} + \alpha^2 u(x) = 0

Per valori pari a \alpha^2 = \frac{N}{EJ \left( 1 - N \frac{\chi}{GA} \right)} si ottiene l'equilibrio. La soluzione dell'equazione differenziale è del tipo

y (x) = A \cos(\alpha x) + B \mathrm{sen}(\alpha x)

A e B sono costanti che dipendono dalle condizioni al contorno. Dalla condizione y (0) = A = 0, segue che la prima delle due costanti è nulla. Considerando che y (L) = B sin (\alpha L) = 0, che ha due soluzioni possibili:

  • se \mathrm{sen} (\alpha L) \ne 0, deve risultare B = 0. In questo caso la soluzione dell’equazione è y (x) \equiv 0, ovvero la sola configurazione di equilibrio è quella indeformata.
  • se \mathrm{sen} (\alpha L) = 0 allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di B, pertanto esistono infinite configurazioni equilibrate (equilibrio indifferente).

La condizione \mathrm{sen} (\alpha L) = 0 implica che \alpha L = n \pi, dove n indica un intero positivo. Ricordando la definizione di \alpha, si ha che la precedente condizione è soddisfatta se

\frac{N_n}{EJ \left( 1 - N_n \frac{\chi}{GA} \right)} L^2 = n^2 \pi^2

Il più piccolo dei valori di N_n corrisponde al passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile. Tale valore è quello per n = 1, ed è detto il carico critico euleriano dell’asta compressa:

N_{cr} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1} \frac{1}{\left[ 1 +\pi^2 \left( \frac{EJ_{\min}}{l^2_1} \frac{\chi}{GA} \right)\right]}

Tensione critica[modifica | modifica wikitesto]

Dal carico critico ne deriva la tensione critica, cioè il valore della tensione raggiunto dall'asta quando N = N_{cr}

\sigma_{cr} = \frac{N_{cr}}{A} = N_{cr} = \pi^2 \frac{EJ_{\min}}{l^2_1 A} \frac{1}{\left[ 1 +\pi^2 \left( \frac{EJ_{\min}}{l^2_1} \frac{\chi}{GA} \right)\right]} = \frac {\pi^2 \frac{E}{\lambda^2}}{1 + \frac{\chi}{GA} A \frac{E}{\lambda^2}\pi^2} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2 + \frac{\chi}{GA} EA \pi^2} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2_{id}}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

ingegneria Portale Ingegneria: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di ingegneria