Instabilità a carico di punta

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In ingegneria l'instabilità dovuta ad un carico assiale di punta agente su un'asta è un improvviso collasso di un membro strutturale soggetto ad intensi sforzi di compressione, sebbene l'effettivo sforzo di compressione generante il collasso sia minore dello sforzo massimo che il materiale componente il membro è capace di sopportare. Questo tipo di collasso è anche chiamato collasso dovuto ad instabilità elastica.

Il carico di punta assiale è una sollecitazione di compressione applicata alla testa di un'asta. Dato che nella realtà fisica è impossibile che tale compressione solleciti l'asta con uno sforzo normale puro, la sollecitazione non avrà esattamente l'asse coincidente con l'asse baricentrico della sezione, ma si troverà ad una certa distanza da esso, creando così un momento flettente.

Una struttura snella, ricevendo sollecitazioni di questo tipo, tende ad incurvarsi fino al punto di rottura ed a collassare. Infatti il fenomeno dell'instabilità a carico di punta, detta anche instabilità euleriana, instabilità a carico euleriano o, in inglese, buckling, è da evitare con grande accortezza, poiché disastroso.

Per evitare questo fenomeno, occorre prevedere correttamente i carichi di progetto e le azioni sollecitanti, modificandone eventualmente i parametri. Ad esempio:

  • riducendo la compressione;
  • cercando di diminuire l'eccentricità del carico;
  • aumentando l'area della sezione;
  • riducendo la lunghezza dell'oggetto;
  • aggiungendo vincoli con altre aste vicine oppure con il suolo;
  • riducendo la lunghezza libera di inflessione della trave.

Un esempio di elemento soggetto ad instabilità a carico di punta può essere un pilastro oppure una trave incastrati ad un estremo e liberi nell'altro, caratterizzati da notevole snellezza (rapporto lunghezza su diametro). Questo tipo di sollecitazione riguarda anche le bielle dei motori veloci: quando il pistone passa dal punto morto superiore al punto morto inferiore, e viceversa, la biella viene compressa.

Snellezza[modifica | modifica wikitesto]

Schema statico

Viene indicato con rapporto di snellezza o semplicemente snellezza:

dove:

  • L0 è la lunghezza libera d'inflessione ed indica la misura del segmento di trave che si incurva liberamente e pertanto dipende dalla tipologia dei vincoli ( tipologia indicata tramite un coefficiente β ), infatti, indicando con l la lunghezza dell'elemento e β * l = L0:
    • L0 = l per una trave vincolata con 2 cerniere agli estremi
    • L0 = 2l per una trave vincolata con un solo incastro perfetto (mensola)
    • L0 = 1/2 l per una trave vincolata con 2 incastri perfetti agli estremi
    • L0 = 2/3 l per una trave vincolata con un incastro perfetto e una cerniera
  • ρmin2 = Imin/A è il raggio d'inerzia minimo della sezione trasversale, dove:
  • Imin è il momento d'inerzia minimo della sezione trasversale
  • A è l'area della sezione trasversale

Nelle strutture metalliche la snellezza non deve superare il valore di 200 per le membrature principali e 250 per quelle secondarie.
In presenza di azioni dinamiche rilevanti, i suddetti valori devono essere limitati rispettivamente a 150 e 200.
Nelle strutture in calcestruzzo armato, vengono considerati snelli i pilastri a sezione costante per i quali la snellezza massima sia maggiore di 35.

Schema statico

Metodo Eulero[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Carico critico di Eulero.

Il metodo di Eulero è un metodo ideato dallo stesso nel 1755, che prevede la risoluzione di un sistema di equazioni differenziali per la trave elastica.

La soluzione di queste equazioni fornisce la seguente espressione della tensione critica euleriana di pressoflessione (nel sistema internazionale indicato in megapascal)[1]:

dove:

  • E rappresenta il modulo di elasticità normale del materiale costituente il corpo in esame (nel SI in megapascal)
  • λ è la snellezza e
  • π è il numero pi greco

Quindi in sostanza la tensione normale di instabilità euleriana dipende solo da forma (forma della sezione e snellezza) e materiale della trave. In fase di verifica, per determinare il coefficiente di sicurezza a carico di punta questo valore va semplicemente rapportato allo sforzo normale equivalente di pressoflessione:

In fase di progetto corrispondentemente la tensione normale massima ammissibile viene determinata dal rapporto tra il carico critico euleriano e il fattore di sicurezza scelto.

Nella pratica ingegneristica tuttavia sopravvive ancora l'uso equivalente di rapportare le forze corrispondenti, nonostante l'espressione del carico critico euleriano come forza contenga più termini e quindi sia più complicata da ricordare, e dipende anche dalla grandezza della trave e non solo dalla sua forma. in altri termini travi simili e dello stesso materiale hanno la stessa tensione critica (stessi megapascal) ma diverso carico critico (diversi kilonewton).

L'espressione del carico critico euleriano in termini di forza normale è[1]:

dove i termini aggiuntivi sono:

  • L0 è la lunghezza libera di inflessione
  • Imin è il momento d'inerzia minimo della sezione trasversale

quindi il coefficiente di sicurezza a carico euleriano vale:

e la forza normale massima ammissibile si calcola come:

.

Formula di Rankine[modifica | modifica wikitesto]

La formula di rankine è tra i metodi più utilizzati per il dimensionamento a carico di punta, per la sua semplicità. Definito un carico ammissibile a compressione , calcolato dividendo il carico di snervamento del materiale per un opportuno coefficiente di sicurezza, il carico di sicurezza a carico di punta vale:

Il parametro dipende infatti dal materiale e dalla snellezza e va scelto dal progettista.

  • per l'acciaio ;
  • per la ghisa ;
  • per il cemento armato .

Tra i valori indicati, i più bassi si applicano per basse snellezze, mentre i più alti per elevate snellezze.

Metodo Omega[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: metodo omega.

Con il metodo delle tensioni ammissibili, per lo studio dei problemi di carico di punta è stato introdotto un metodo semplificato chiamato metodo ω.

Se consideriamo una membratura compressa assialmente, ma sufficientemente tozza in modo da poter ritenere che non possano sussistere fenomeni di instabilità (effetti del secondo ordine), il carico massimo ammissibile vale:

dove:

  • σamm è la tensione ammissibile del materiale
  • A è l'area della sezione trasversale della membratura.

Supponiamo di aumentare la lunghezza l del pilastro: affinché non si inneschi il fenomeno di instabilità occorre ridurre P oppure diminuire la tensione ammissibile di calcolo.

Chiamando ω il coefficiente di riduzione della σamm si avrà che il carico critico vale:

questa formula si può scrivere anche nel seguente modo:

dalla formula del carico critico di Eulero risulta che:

Pertanto:

  • σcr = σamm
  • ω = σammcr.

Si può notare che ω essendo uguale ad un rapporto di tensioni, è un numero puro che tiene conto anche della teoria di Eulero e della snellezza dell'elemento (λ).

Esistono delle apposite tabelle, per ciascun materiale, mediante le quali si determina ω in funzione del valore assunto da λ.

Con il metodo ω si può effettuare la verifica a carico di punta di un elemento snello applicando la metodologia standard per la verifiche a compressione semplice degli elementi tozzi.

Infatti determino prima la tensione agente:

Successivamente sulla base del tipo di materiale, delle caratteristiche geometriche e dei vincoli agenti determino la snellezza del pilastro e di conseguenza, dalle tabelle, il valore di ω.

A questo punto la formula di verifica a carico di punta di un elemento snello diventa la seguente:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Niemann, Winter, Elementi di macchine, vol.1 p.57

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Per la sezione della formula di Rankine si è fatto riferimento a: G. Cagliero, Meccanica Vol. 1, Zanichelli/E.S.A.C, Bologna 1992.

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