Calcolo mentale

Il calcolo mentale consiste nell'effettuare un calcolo matematico usando solamente la propria mente, senza l'ausilio di altri mezzi quali una calcolatrice, un computer, carta e penna.

Il calcolo viene eseguito basandosi sulla conoscenza di alcuni dati quali la tavola pitagorica, i prodotti notevoli e alcuni metodi di calcolo approssimato. Il calcolo mentale viene utilizzato quando non si dispone di altri mezzi di calcolo, ma anche per valutare l'ordine di grandezza di un risultato già conosciuto al fine di verificarne la correttezza.

Alcune persone, dette calcolatori prodigio, riescono ad effettuare calcoli mentali di notevole difficoltà con elevata velocità e precisione.

Somme

Il metodo da sinistra a destra

Effettuare addizioni a mente può essere complicato. Il motivo è dovuto al fatto che la maggior parte delle persone effettua le operazioni a mente da destra a sinistra. Immaginate di dover sommare $12+89$. Molti inizieranno con $2+9=11$, riporteranno $1$, faranno $1+8=9$, più il riporto 10, e uniranno il tutto in $101$. Questo può sembrare intuitivo ma è in realtà abbastanza complesso soprattutto in casi con più cifre.

Un metodo più rapido per il calcolo mentale è il seguente: sia data l'addizione $a+b$. Si tenga $a$ intero e si scomponga $b$ nelle sue parti (unità, decine, centinaia, migliaia...). Il metodo prosegue quindi effettuando la somma da sinistra a destra.

Esempio

$12+89$

diventa

$12+80$ ossia $92$

a cui si aggiunge $9$ = $101$

Questo metodo di calcolo, seppur non altrettanto popolare, ha il vantaggio di non dover effettuare alcun riporto a metà del calcolo.

Si pensi a $123456+987654$. Il metodo da destra a sinistra richiede di tenere traccia di 5 riporti. Il metodo da sinistra a destra invece è il seguente:

$123456+900000=1023456$

$1023456+80000=1103456$

$1103456+7000=1110456$

$\cdots$

fino a $1111110$

Nessun riporto è stato necessario.

Arrotondamenti

Fare $12+89$ è un po' complicato, mentre fare $12+90$ è un gioco da ragazzi. Applicando gli arrotondamenti insieme al metodo da sinistra le somme si semplificano di molto.

Per ora lo trattiamo come un $12+90$ quindi abbiamo $102$. visto che arrotondiamo per eccesso la differenza $90-89=1$ dovrà ora essere sottratta al risultato. da cui deriva $101$.

Sottrazioni

Il metodo da sinistra a destra

Seguendo in modo analogo quanto accennato per le addizioni:

$73-49$ diventa $73-40$ che fa $33$ a cui si sottrae $9$ che fa $33-9=24$.

Arrotondamenti

Il calcolo sopra ancora una volta risulta semplificabile per arrotondamento.

$73-49$ diventa $73-40$ che fa $33$

A cui si sottrae $10=23$ e poi si riaggiunge $1$ ottenendo infine $24$.

Potenze del 10

Cosa succede se siamo di fronte a una sottrazione di tipo $10^{k}-b$ ?

Esempio:

$1000-943$

Questo calcolo può a prima vista sembrare ostico ed il motivo è che il metodo da sinistra qui non ci aiuta particolarmente. Tuttavia, esiste un trucco che permette di risolvere il problema in tempi rapidi.

prendiamo $943$ e dividiamolo nelle sue cifre $9,4,3$ ora sottraiamo ciascuna di esse da $9$ tranne l'ultima che si sottrae da $10$.

$9-9=0$

$9-4=5$

$10-3=7$

ottenendo $57$.

Il trucco si basa sul fatto che il numero ottenuto insieme con l'originale sommano a una potenza di dieci. Infatti: $943+57=1000$. Nello specifico se il numero originale ha $n$ cifre, sommandolo con quello ottenuto dal trucco otterremo una potenza di dieci da $n+1$ cifre. quindi in questo caso abbiamo già trovato il risultato per $1000-943$.

Se fosse stato $10000-943$, sappiamo che $10000$ è 10 volte mille. Per fare il primo mille ci serve $57$ mentre gli altri $9000$ restano. quindi il risultato è $9057$.

Metodi di calcolo mentale

La dote essenziale per un calcolatore prodigio è quella di possedere una memoria fuori dal comune. A questa deve essere associata una forte agilità mentale nell'eseguire i calcoli e la conoscenza di alcuni trucchi del mestiere. La memoria serve sia per disporre di dati pre-calcolati, sia per memorizzare tutti i risultati intermedi di un'operazione. Quelli che normalmente vengono annotati su un foglio di carta. I trucchi, invece, permettono di ottenere facilmente i risultati di alcune operazioni apparentemente molto complesse. A titolo di esempio si può mostrare quello utilizzato per estrarre le radici quinte:

• Bisogna memorizzare le potenze quinte di 10, 20, ..., 90, almeno grosso modo. Non serve il valore esatto.
• Si chiede a qualcuno di scegliere, senza dircelo, un numero intero minore di 100 e di moltiplicarlo per se stesso cinque volte. Dopo di che, dovrà leggerci il risultato.
• Supponiamo che venga letto il numero 229.345.007
• Appena inizia la lettura, capiamo che il numero è compreso tra 100 milioni (circa 102.400.000 = 40⁵) e 300 milioni (circa 312.500.000=50⁵), due dei numeri che abbiamo memorizzato. Dunque la prima cifra del risultato è 4.
• Appena termina la lettura, possiamo rispondere che il risultato è 47.

Il trucco sta nel fatto che, quando si eleva un qualsiasi numero intero alla 5ª potenza, l'ultima cifra non cambia. Quindi, visto che 229.345.007 finisce con "7", e che è la potenza quinta di un numero intero, anche la sua radice quinta finisce con "7". Questo metodo è stato quasi certamente utilizzato (con molto successo) anche da un concorrente della trasmissione televisiva Scommettiamo che...? e mostra anche come la memoria giochi spesso un ruolo importante.

Bibliografia

• Denis Butlen, Le calcul mental entre sens et technique : Recherches sur l'enseignement des mathématiques aux élèves en difficulté, du calcul mental à la résolution des problèmes numériques, Presses Univ. Franche-Comté, 2007  (ISBN 9782848671987)
• Garçon, Manuel, Alì, Maurizio, Fundora, Rosmery e Nicar, Nathanaël André. (2023). Mental Arithmetic and Mathematical Skills in Primary School. A Comparative Perspective Between Two Post-Colonial Education Systems: Martinique and Senegal. Giornale Italiano di Educazione alla Salute, Sport e Didattica Inclusiva, 7(2). ISSN: 2532-3296. https://doi.org/10.32043/gsd.v7i2.877.

Altri progetti

Altri progetti

• Wikibooks
• Wikimedia Commons

• Wikibooks contiene testi o manuali su calcolo mentale
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su calcolo mentale

Collegamenti esterni

• Mental arithmetic training test, su mental-arithmetic-test.mry.altervista.org. URL consultato il 19 agosto 2014 (archiviato dall'url originale il 19 agosto 2014).