Albero delle terne pitagoriche primitive

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In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.

Terne pitagoriche primitive[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Terna pitagorica.
Rappresentazione nel piano della terna pitagorica a, b, c e della coppia m, n
Grafico di alcune coppie m, n e dei corrispondenti punti delle terne. Aprire il file svg per una versione interattiva

Una terna di numeri interi è una terna pitagorica se ; è una terna pitagorica primitiva se non hanno fattori in comune, cioè se .

Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi con che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari):

(cateto dispari)
(cateto pari)
(ipotenusa)

La relazione inversa permette di calcolare per ogni terna:

Considerando e come coordinate del piano complesso ( e ), si hanno le rispettive coordinate polari e . Si ottiene la relazione:

da cui e .

La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:

Alberi di terne pitagoriche primitive[modifica | modifica wikitesto]

Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi.[1]

Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla oppure alla coppia

Albero UAD[modifica | modifica wikitesto]

Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:[2][3][4][5][6]

con le corrispondenti per le coppie:

Albero FB[modifica | modifica wikitesto]

Il secondo albero, introdotto da Firstov[1] e Price[7], utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

con le corrispondenti per le coppie:

Albero UMT[modifica | modifica wikitesto]

Il terzo albero, determinato da Firstov[1], ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

con le corrispondenti per le coppie:

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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