*-algebra di Banach

Una *-algebra di Banach $A$ è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi sulla quale sia definita un'applicazione $*:A\to A$ , detta involuzione, con le seguenti proprietà:

$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ per ogni $x,y\in A$
$(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ per ogni $\lambda \in \mathbb {C}$ e ogni $x\in A$ , dove ${\bar {\lambda }}$ è il complesso coniugato di $\lambda$
$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ per ogni $x,y\in A$
$(x^{*})^{*}=x$ per ogni $x\in A$

Il termine B*-algebra è stato introdotto da C. E. Rickart nel 1946 per descrivere una *-algebra di Banach che soddisfa:

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}

per tutti gli $x$ nella data B*-algebra. Questa condizione implica che la *-involuzione è un'isometria, ovvero $\|x\|=\|x^{*}\|$ , quindi $\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|$ e dunque una B*-algebra è una C*-algebra.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Siegfried Echterhoff, C*-Algebras : Proceedings of the SFB-Workshop on C*-Algebras, Münster, Germany, March 8-12, 1999, Springer Berlin Heidelberg, 2000, ISBN 978-3-642-57288-3, OCLC 840292382.
(EN) Kenneth R. Davidson, C*-algebras by example, American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, OCLC 34669383.
(EN) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras: a friendly approach, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-859694-4, OCLC 26933088.