Utente:Bersan~itwiki/Sandbox

Per trovare una soluzione particolare della (1), cerchiamola nela forma:

$y=u(x)\cdot e^{-A(x)}$

Sostituendola nella (1), abbiamo:

$u'(x)\cdot e^{A\cdot x})-Ac\cdot e^{-A\cdot x}\cdot u$

Sostituendo $y$ e $y'$ nell'equazione originaria si ottiene:

$u'(c\cdot e^{-A(x)}-a(x)\cdot u(x)\cdot e^{-A(x)}+a(x)\cdot u(x)\cdot e^{-A(x)}=f(x)$

Semplificando si ha:

$u'(x)=f(x)\cdot e^{A(x)}$

dalla quale basta integrare per trovare:

$u(x)=\int f(t)e^{-A(t)}dt+C_{1}$

La soluzione generale è dunque

$y=Ke^{-A(x)}+e^{-A(x)}\cdot \int f(t)e^{-A(t)}dt$

dove K ingloba tutte le costanti.

Le soluzioni dell'equazione lineare non omogenea del primo ordine ha soluzioni in grande, poiché dato il problema di Cauchy associato (4) possiamo avere una ed una sola soluzione nell'intervallo di definizione della x :

$y(x)=e^{-A(x)+A(x_{0})}\cdot \left(y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{-A(t)+A(x_{0})}dt\right)$

Questa è la soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Venne trovata per la prima volta da Jean Bernoulli, il minore dei due fratelli Bernoulli capostipiti.