Utente:Andreaguadagni/Sandbox
Dimostrazione della proprietà riflettente della parabola[modifica | modifica wikitesto]
La luce che entra in una parabola, viaggiando parallelamente all'asse di simmetria, viene riflessa verso il fuoco. L'angolo che il raggio di luce incidente forma con la tangente alla parabola è uguale all'angolo del raggio di luce riflesso (Vedi: Le leggi della riflessione). Questa constatazione fisica può essere dimostrata anche con la geometria e la matematica. Poiché tutte le parabole sono simili, consideriamo la parabola con la semplice equazione .
Costruzione[modifica | modifica wikitesto]
Il punto P è un punto arbitrario sulla parabola e ha coordinate . Il fuoco è F, il vertice è V (l'origine), e la linea FV (sull'asse ) è anche asse di simmetria. La linea PA è parallela all'asse di simmetria, e interseca l'asse nel punto B. Il punto A è sulla direttrice della parabola. Il punto M è a metà del segmento FA per l'uguaglianza del triangolo △FVM col triangolo △ABM. Per la proprietà fondamentale della parabola PF = PA, dunque il triangolo △FPA è isoscele e la linea PM è bisettrice dell'angolo ∠FPA.
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Si deve dimostrare che 1) l'angolo che il raggio di luce incidente forma con la tangente alla parabola è uguale a quello del raggio di luce riflessa e che 2) la linea PM è tangente alla parabola.
- 1) L'angolo ∠FPA viene diviso dalla bisettrice PM in due angoli uguali di ampiezza . L'angolo è dunque uguale ad perché opposto al vertice.
- 2) Si può dimostrare in tre modi diversi che linea PM è tangente alla parabola: a) col calcolo della derivata, b) con l'intersezione fra la parabola e la linea, c) con una dimostrazione geometrica.
- a) La derivata di è e rappresenta la pendenza della tangente. La pendenza di PM è data dal rapporto PB/MB, cioè , che vale pari cioè alla derivata di nel punto P. Dunque PM è tangente alla parabola in P.
- b) Si cercano le intersezioni fra la parabola e la linea PM. Se sono coincidenti, allora la linea è tangente. Le intersezioni si trovano risolvendo il sistema delle due equazioni: per la parabola e per la linea PM. La seconda equazione diventa: . Poiché , la seconda equazione diventa: . Uguagliando i secondi membri delle equazioni, si ottiene: il cui discriminante vale: Dunque le intersezioni sono coincidenti e la linea PM è tangente.
- c) Q è un generico punto della parabola che sovrasta P. Si vede, osservando la figura, che QF = QU < QA. Dunque il triangolo △FQT non è isoscele e Q sta a sinistra della linea PM. Questa è perciò tangente in P.