Discussione:Teoria perturbativa (meccanica quantistica)

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Io non faccio testo, bisognerebbe chiedere a qualcuno che conosce il formalismo matematico ma non l'argomento. Inoltre sarei propenso a inserire degli esempi, da utilizzare per il calcolo: non un mero discorso teorico, ma un esempio risolto per i due tipi di sistemi. Per esempio, gli stati dell'ammoniaca, sono un classico... - BW 15:39, Set 21, 2004 (UTC)

Io conosco sia il formalismo che l'argomento e quindi, secondo i criteri di BW, neanche io faccio testo ;-). Tuttavia la mia impressione leggendo l'articolo è che sia veramente un po' pesante. Da parte mia credo che la cosa migliore sarebbe ampliare il paragrafetto introduttivo spiegando in poche righe cos'é una teoria perturbativa ai profani (ovvero riscriverlo utilizzando meno termini tecnici). Credo anche che si potrebbe pensare ad aggiungere un piccolo passaggio intermedio fra il profano (che tanto non capirebbe comunque le formule) e lo specialista, ovvero una dimostrazione un po' più semplice limitata al caso delle perturbazioni al primo ordine (dovrei avere qualcosa fra i miei appunti di fisica teorica). Direi anche che si potrebbe aggiungere in fondo una trattazione delle perturbazioni al primo ordine dipendenti dal tempo (ma questo si può fare in un secondo momento). Per quanto riguarda l'esempio ho il vago sospetto che una trattazione degli stati dell'ammoniaca, per quanto affascinante, sia un filino complicata... non sarebbe meglio qualcosa di più semplice? Oppure addirittura lasciare gli esempi come articoli a parte e mettere in questa pagina solo i collegamenti come è adesso?--Berto 07:55, Set 22, 2004 (UTC)

1. Ammoniaca: se consideriamo solo gli stati su/giu dell'atomo di N può essere molto semplice e introduttivo, anche se è ovviamente parziale.
2. Esempi come link: per me non problem.

BW 08:17, Set 22, 2004 (UTC)

Per l'ammoniaca, allora, bisognerebbe solo trovare un volenteroso (non guardate me!). Per la leggibilità dell'articolo posso vedere un pò che si può fare nella sezione dello spettro non degenere. Per migliorare l'introduzione, ho iniziato a dare uno sguardo all'articolo della wiki inglese e vedo nei prossimi giorni cosa fare (vorrei prima aspettare l'inserimento del paragrafo intermedio di Berto!). Sulla teoria perturbativa dipendente dal tempo sono, invece, già al lavoro e comunque non ci vedrei niente di male nello scrivere qualche accenno anche in questo articolo: facciamo però una cosa alla volta, iniziando, magari, dal paragrafo intermedio. Saluti, J'onn J'onzz 08:49, Set 22, 2004 (UTC)

Al momento sono un po' intasato col completamento di un articoletto sui postulati della meccanica quantistica. Appena riesco a renderlo leggibile e pseudo-completo mi metto al lavoro su questo ;-)--Berto 08:53, Set 22, 2004 (UTC)

Sull'ammoniaca, potrei fare qualcosa partendo dall'analisi del sistema tramite eq. di schroedinger e hamiltoniana, poi però bisognerebbe portarlo nel formalismo descritto. –BW 06:32, Set 27, 2004 (UTC)

Scrivi pure, poi a rimettere a posto il formalismo posso pensarci io. Saluti, J'onn J'onzz 07:13, Set 27, 2004 (UTC)

Bozza esempio: ammoniaca

Stato I dell'Ammoniaca

Stato II dell'Ammoniaca

Se consideriamo la molecola d'ammoniaca, vediamo che possiamo considerarla, in prima approssimazione, un sistema a due stati:

• $\left|I\right\rangle$ - Atomo di azoto sopra il piano degli atomi d'idrogeno
• $\left|II\right\rangle$- Atomo di azoto sotto il piano degli atomi d'idrogeno

Ad ogni istante, il sistema è in una sovrapposizione di questi due stati, sicché

$\left|\psi \right\rangle =\left|I\right\rangle \left\langle I|\phi \right\rangle +\left|II\right\rangle \left\langle II|\phi \right\rangle$

e

$\left|\left\langle I|\psi \right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle II|\psi \right\rangle \right|^{2}=1$

Hamiltoniana:

${\mathcal {H}}=\left({\begin{matrix}H_{I,I},&H_{I,II}\\H_{II,I},&H_{II,II}\end{matrix}}\right)$

Per trovare gli stati base, supponiamo che H_I,II=H_II,I=0, possiamo dunque scrivere

$i\hbar {\frac {\partial C_{I}}{\partial t}}=H_{I,I}C_{I}$

$i\hbar {\frac {\partial C_{II}}{\partial t}}=H_{II,II}C_{II}$

ossia

$C_{I}=E_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{I,I}t}$

$C_{II}=E_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{II,II}t}$

Vediamo ora cosa accade se consideriamo i valori H_I,II e H_II,I. Senza perdere in generalità, per motivi di simmetria possiamo prenderli uguali in modulo, e pari ad un valore negativo, diciamo -A

le equazioni diventano allora

$i\hbar {\frac {\partial C_{I}}{\partial t}}=E_{0}C_{I}-AC_{II}$

$i\hbar {\frac {\partial C_{II}}{\partial t}}=E_{0}C_{II}-AC_{I}$

Sommandole si ottiene

$i\hbar {\frac {\partial (C_{I}+C_{II})}{\partial t}}=E_{0}(C_{I}+C_{II})-A(C_{1}+C_{II})$

La soluzione è

$C_{I}+C_{II}=aE_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{0}-A)t}$

Procedendo in modo analogo con la differenza tra le due relazioni si ottiene

$C_{I}-C_{II}=bE_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{0}+A)t}$

Possiamo ora ricavare i C_i in funzione del tempo, che risultano pari a

$C_{I}(t)={\frac {a}{2}}E_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{0}-A)t}+{\frac {b}{2}}E_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{0}+A)t}$

$C_{II}(t)={\frac {a}{2}}E_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{0}-A)t}-{\frac {b}{2}}E_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{0}+A)t}$

Indichiamo ora gli stati $\left|1\right\rangle$ e $\left|2\right\rangle$ come

$\left|1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|I\right\rangle -\left|II\right\rangle \right)$

$\left|2\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|I\right\rangle +\left|II\right\rangle \right)$

Questi due stati hanno le seguenti proprietà:

$\left\langle I|1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}=-\left\langle II|2\right\rangle$

$\left\langle 1|2\right\rangle =\left\langle 2|1\right\rangle =0$

L'hamiltoniana deve anche soddisfare le seguenti relazioni

$i\hbar {\frac {\partial C_{1}}{\partial t}}=(E_{0}+A)C_{1}=E_{1}C_{1}$

$i\hbar {\frac {\partial C_{2}}{\partial t}}=(E_{0}-A)C_{2}=E_{2}C_{2}$

Otteniamo perciò l'hamiltoniana

${\mathcal {H}}=\left({\begin{matrix}C_{1},&0\\0,&C_{2}\end{matrix}}\right)$

Il sistema dunque ammette una base ortonormale completa.

---

Dato questo, come portarlo nel formalismo dell'esempio? - BW 08:34, Set 28, 2004 (UTC)

Commenti

Premessa: ho letto la bozza sull'ammoniaca molto velocemente e quindi è possibile che i miei commenti di qui sotto siano solo una montagna di spazzatura.
Ad una prima occhiata mi sembra che ci sia un equivoco di fondo. Quella da te presentata non è un'applicazione della teoria perturbativa. Quello che hai dimostrato è che, quando ci sono due stati possibili del sistema con la stessa energia, l'autostato che descrive il sistema non è né l'uno né l'altro stato ma una combinazione lineare dei due. In questo caso una sovrapposizione antisimmetrica. Quello da te riportato è in effetti un esempio efficace, ed ampiamente riutilizzabile in un'altra sede, del fatto che, anche se i due stati sono isoenergetici, l'autostato che ne deriva subisce uno splitting. Questo però è un risultato generale ed esatto, niente a che vedere con la teoria perturbativa.--Berto 07:03, Set 30, 2004 (UTC)

Padronissimo di riutilizzare quanto sopra dove vuoi. Per la TP, Gianluigi diceva per l'appunto di postarlo, a meno che non abbia capito male io, che poi avrebbe messo lui nel formalismo adeguato. Io ci ho provato, perchè, a lume di naso, nel passare al limite della serie si dovrebbe riottenere quanto sopra, però mi sono perso nei conti. Speriamo nel Marziano appena torna.

PS: Se non fosse possibile portare il tutto in teoria perturbativa, si potrebbe però vedere cosa accade applicando il principio del maser ad ammoniaca, vedendo il campo elettromagnetico come perturbazione sull'hamiltoniana data sopra. - BW

Ho letto anche io l'esempio e, in effetti, non è un'applicazione della teoria perturbativa, poiché il conto è esatto. Forse si potrebbe scrivere qualcosa sull'atomo di idrogeno, anche se prevedo un articolo apposito. (vedi sezione Alcune applicazioni)

Per migliorare l'articolo stavo pensando a sfoltire un pò le equazioni per lo spettro non degenere e realizzare un cappello un pò più ampio.

Vedo un pò quel che riesco a fare.

Saluti, J'onn J'onzz 16:05, Ott 5, 2004 (UTC)

il vostro marziano preferito!

Se addiziono il campo ${\mathcal {\mu \mathrm {E} }}$ nell'${\mathcal {H}}$, si può usare la TP? Se si, bene, altrimenti devo rifare comunque i conti per un articolo sul calcolo quantistico, (implementare una porta NOT con un qualunque sistema a due stati) e il più semplice mi sembra questo. - BW Insultami 06:02, Ott 6, 2004 (UTC)

Per J'onn J'onzz: buona la ripulitura dell'articolo. Da un punto di vista formale/didattico forse espliciterei un po' il fatto che, una volta compiuto lo sviluppo in serie, alle varie potenze di $\lambda$ corrispondono i vari ordini di approssimazione. A questo proposito si potrebbe far vedere prima che all'ordine zero non ci sono shift dell'energia, poi il conto al primo ordine e solo dopo quello al secondo. Adesso che questi tre passaggi sono fatti insieme credo che un non-specialista si trovi un po' perso.

Scusate l'intromissione, ma quando $\lambda \rightarrow \infty$, se $\Delta _{n}\rightarrow 0$ e così pure Δ_i e Δ_j, in alcuni casi la serie tende ad un valore esatto, giusto? Dovrebbe valere il teorema dei due carabinieri, ad esempio col maggiorante ΣΔ_i² e minorante ΣΔ_n², o no? Perchè allora si potrebbe usare anche per esemplificare i casi noti esatti - BW Insultami 07:21, Ott 6, 2004 (UTC)

Per BW: il giorno ce mi risveglio dall'atarassia dilagante che mi ha colpito in questi giorni pensavo di iniziare a mettere mano all'articolo sugli autovettori (che manca) e pensavo di riutilizzare gran parte di quello che tu hai scritto come esempio dell'interpretazione fisica degli autostati un meccanica quantistica.
--Berto 06:58, Ott 6, 2004 (UTC)

Risposta a BW: vediamo se ho capito bene la domanda. Tu proponi di utilizzare la possibile convergenza di $\lambda \Delta _{n}$, per $\lambda \rightarrow \infty$ e $\Delta _{n}\rightarrow 0$, in modo da ottenere un risultato esatto (tramite il teorema dei carabinieri) di una perturbazione (mi sbaglio?). Il baco del ragionamento secondo me risiede nel fatto che $\lambda$ è solo una variabile fantoccio (non rappresenta nulla di fisico) inserita solo per poter essere mandata a zero (questo è un trucchetto molto usato nelle dimostrazioni matematiche). Difatti tutta la teoria delle perturbazioni stà in piedi solo perché le "perturbazioni" sono infinitesime. In caso contrario ($\lambda$ non molto minore di uno) tutto il formalismo va a carte e quarantotto. In effetti, come detto sopra, $\lambda$ ha l'unica funzione di stabilire una funzione ricorsiva (data dallo sviluppo in serie) dalla quale ottenere i vari ordini perturbativi. Di conseguenza $\lambda$ non può tendere all'infinito e $\lambda \Delta _{n}$ non converge ad un valore finito e quindi non puoi trovare maggioranti e minoranti.
Spero di non essere stato troppo confusionario ;-) --Berto 07:35, Ott 6, 2004 (UTC)

Vediamo un po':
Affermazioni

1. Sono dati casi esatti (vedi sopra)
2. La teoria perturbativa con spettro non degenere (SNG) permette di calcolare approssimazioni precise quanto si vuole.

Se le due sono vere contemporaneamente (e così pare), allora con la TP si deve poter descrivere un caso esatto. Se $\lambda <<1$ e tende a zero, e non ad infinito (avevo capito male il senso di ordine di approssimazione) è ancora più semplice: $\lambda <=\lambda \Delta _{n}<=\Delta _{n}^{2}$ e allora eccoti tutto il necessario. Dov'é lo sbaglio?

BW Insultami 07:45, Ott 6, 2004 (UTC)

Riscrivo per comodità le affermazioni in una forma a me più congeniale:

1. Esistono casi risolubili esattamente.
2. La teoria perturbativa permette di calcolare approssimazioni precise quanto si vuole nell'ipotesi che la perturbazione sia molto minore dell'hamiltoniana risolubile.

Il problema è che, facendo come hai fatto tu, non hai costruito un maggiorante ed un minorante della grandezza che vuoi cercare ($\Delta _{n}$). Intanto ricordati che $\Delta _{n}$ può tranquillamente essere minore di zero (difatti è sempre negativo per lo stato fondamentale) e quindi non può essere minorato con una grandezza definita positiva come $\lambda$ e quindi neanche $\lambda \Delta _{n}$ può esserlo. In più per usare il teorema dei carabinieri dovresti avere un maggiorante ed un minorante che convergono entrambi allo stesso limite mentre $\lambda$ e $\Delta _{n}^{2}$ non lo fanno.
--Berto 08:41, Ott 6, 2004 (UTC)

Ok, λΔ_n cambia di segno, ma basta prenderne il modulo, come afferma anche il teorema: $\lambda <=|\lambda \Delta _{n}|<=\Delta _{n}^{2}$. Inoltre resta il fatto che date le due affermazioni, la serie deve convergere. E quindi devono esistere i minoranti e i maggioranti, o comunque ricadere in una condizione tale che la serie converge. E scusa ma λ a quanto tende? Non tende a 0? Anche perchè la frase Poiché stiamo introducendo una perturbazione, il fattore λ sarà piccolo (prossimo allo zero) lambda può essere fatto tendere a zero, o no? E dunque se sì, anche Δ_n dovrebbe, visto che è definito

$\Delta _{n}=\lambda \Delta _{n}^{(1)}+\lambda ^{2}\Delta _{n}^{(2)}+...$

deve tendere a zero. Dove sbaglio? - BW Insultami 13:55, Ott 6, 2004 (UTC)

Credo che ci sia un equivoco di fondo. In effetti ho riguardato e nella dimostrazione di Gianluigi ci sono un paio di passaggi impliciti che potrebbero non essere ovvi...

Provo a riscrivere la prima parte della dimostrazione per vedere se risulta più chiaro

Assumiamo di avere un'hamiltoniana $H_{0}$ di cui conosciamo tutti gli autovalori $E_{n}^{(0)}$ e tutti gli autostati $\left\|u_{n}\right\rangle$ e perturbiamola con una hamiltoniana V.
Introduciamo quindi la variabile fantoccio $\lambda$ che, essendo compresa fra zero ed uno, collega in maniera continua il caso non perturbato $\lambda =0$ con quello perturbato $\lambda =1$. Il nostro problema agli autovalori potrà quindi essere riscritto come: $\left(H_{0}+\lambda V\right)\left|\psi _{n}\right\rangle =H_{tot}\left|\psi _{n}\right\rangle =E_{n}\left|\psi _{n}\right\rangle$.
Dato che $\lambda$ è continua posso fare gli sviluppi in serie di Taylor
$E_{n}(n)=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}E_{n}^{(k)}$ e $\left|\psi _{n}(\lambda )\right\rangle =\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}\left|\psi _{n}^{(k)}\right\rangle$ dove ovviamente $E_{n}(0)=E_{n}^{(0)}$ e $\left|\psi _{n}(0)\right\rangle =\left|u_{n}\right\rangle$.
Il problema agli autovalori risulta quindi essere
$\left(H_{0}+\lambda V\right)\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{s}\left|\psi _{n}^{(k)}\right\rangle =\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}E_{n}^{(k)}\sum _{s=0}^{\infty }\lambda ^{s}\left|\psi _{n}^{(s)}\right\rangle$ che è un'uguaglianza fra polinomi. Per il principio di uguaglianza fra polinomi ho bisogno che tutti i coefficienti di tutti gli ordini di $\lambda$ (che in principio può essere anche non piccola) debbano essere uguali. Se poi $\lambda$ è piccola allora i termini di alto grado saranno sempre trascurabili e ci si potrà accontentare di calcolare le perturbazioni al primo ordine (i coefficienti di $\lambda$) o, al massimo, al secondo (i coefficienti di $\lambda ^{2}$).

Come vedi, a rigore, $\lambda$ non tende proprio a nulla e anche lo shift di energia non è identicamente zero.

--Berto 14:54, Ott 6, 2004 (UTC)

Questo era chiaro, lambda è variabile, ma per ogni sistema studiato va considerata costante. Ma io intendevo questo: se esistono soluzioni esatte non perturbate ossia per λ=0, al passaggio al limite la soluzione perturbata deve tendere a quella esatta. Oppure vi è una discontinuità? Non credo, in quanto il sistema fisico non è discontinuo, per piccole perturbazioni. Quindi la serie dei Δ_n deve tendere a zero se λ tende a zero. Non parlavo di un sistema, ma dell'andamento dei vari sistemi descritti, fissata H quando si fa tendere λ, e quindi λV, e anche λΔ_n a zero. Mi sembra che quanto tu dici si riferisca ad un dato valore di lambda, e quindi parlaimm e nun ce capaimm.

Vediamo se riesco a farti capire cosa intendo:
H è dato, ad esempio quello del nostro sistema d'ammoniaca. Consideriamo il caso, per semplicità, in cui V è un potenziale elettrico, che supponiamo nullo al livello del piano degli H, crescente nel verso delle z ossia da sotto (II) a sopra (I). Se chiamiamo il suo valore Vn avremo:

$\left({\begin{matrix}(E_{0}+A)+\lambda V_{n};&A\\A;&(E_{0}-A)-\lambda V_{n};\end{matrix}}\right)$

Si vede facilmente che, in questo caso almeno, al tendere a zero il Δ si annulla per tutti i livelli. Però abbiamo barato e siamo partiti dallo stato libero che conoscevamo. Invece io avrei voluto partire da H incognito, e ricavare il caso dell'autostato libero facendo tendere al limite dell'espressione dei livelli perturbati. Non so se sono stato chiaro... - BW Insultami 05:58, Ott 7, 2004 (UTC)

Concordo, parliamo e non ci capiamo. O almeno devo dire che sono io a non capire...:-(
Per quanto riguarda la prima domanda (anche se è praticamente una domanda retorica rispondo lo stesso, spero che non te ne avrai a male ;-) la risposta è si. Al tendere di λ a 0 si recupera la soluzione non perturbata. Non sono invece sicurissimo di aver capito la seconda parte del tuo ragionamento. Se l'hamiltoniana "perturbata" è ${\hat {H}}_{tot}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$ il trucco della teoria perturbativa (stazionaria) è quello di riscrivere gli autostati (ignoti) di ${\hat {H_{tot}}}$ in funzione degli autostati (noti) di ${\hat {H}}_{0}$. Procedere al contrario vuol dire riscrivere degli autostati noti in funzione di quelli ignoti ottenedo una serie di equazioni a mio parere irrisolvibili (troppe variabili). Ma forse non ho capito ancora una volta quello che stai cercando di dirmi...--Berto 07:08, Ott 7, 2004 (UTC)

Oh, ci siamo capiti, finalmente! Era questo che io volevo fare, usare la TP per trovare un caso esatto. Gli autostati $\left|n_{+}\right\rangle$ e $\left|n_{-}\right\rangle$ di un sistema perturbato in quella maniera sono semplicemente

$\left|n_{+}\right\rangle =cos({\frac {\mu {\mathcal {\mathrm {E} }}_{0}}{\hbar }}t)$

$\left|n_{-}\right\rangle =-isin({\frac {\mu {\mathcal {\mathrm {E} }}_{0}}{\hbar }}t)$

con με₀ il campo elettrico moltiplicato per il momento di dipolo dell'azoto. Mi conforta il fatto che anche a parer tuo la cosa è di difficile applicazione, in quanto io mi ero perso irrimediabilmente nei calcoli. Boh, lascio fermentare la cosa nel subconscio per un po' e vedo se mi ci raccapezzo. Ciao e buona giornata - BW Insultami 07:43, Ott 7, 2004 (UTC)

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