Discussione:Matrice mal condizionata

Faccio presente che il numero di condizionamento non ha nulla a che fare con la prossimità del determinante della matrice a 0.

Dato il sistema algebrico lineare:

${\begin{bmatrix}t&0\\0&t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}$

con t << 1, si avrà un determinante pari a t al quadrato, circa uguale a 0, ma di per contro

$|x_{1}|={\frac {|b_{1}|}{t}}$ passando alle differenze

$|\Delta x_{1}|={\frac {|\Delta b_{1}|}{t}}$

ora posso scrivere: ${\frac {|\Delta x_{1}|}{x_{1}}}={\frac {\Delta b_{1}\cdot t}{b_{1}\cdot t}}={\frac {\Delta b_{1}}{b_{1}}}$

semplifico t e ottengo che data una variazione (ad esempio) dell 1% sulle x, ottengo una variazione dell'1% sulle b. Ovvero la matrice è ben condizionata.

Un test per valutare correttamente il condizionamento del sistema è quello di calcolare k

$k={\sqrt {\frac {\max \lambda (A'A)}{\min \lambda (A'A)}}}$

se k circa uguale a 1 la matrice è ben condizionata. se >> malcondizionata. Da notare che la matrice A deve essere simmetrica o simmetrizzata, per generare autovalori reali, e quindi confrontabili con test max e min (non ha senso fare test max min su autovalori complessi).

Non ho tempo di formattare tutto questo, pur certo dell'affidabilità scientifica. non ripristinate la cavolate del determinante quasi nullo come condizione necessaria e sufficiente...