Discussione:Geometria assoluta

La geometria assoluta o neutrale è una geometria che non assume il V postulato di Euclide, in nessuna delle sue forme equivalenti. I teoremi derivanti da questo sistema assiomatico sono quindi validi in tutte quelle geometrie che contengono tutti gli assiomi di Hilbert eccetto il IV.1 che è quello relativo al V postulato di Euclide[1]. Una descrizione esaustiva degli assiomi di Hilbert viene fatta suddividendoli in cinque gruppi:

I. Assiomi di incidenza

II. Assiomi di ordine

III. Assiomi di congruenza

IV. Assioma delle parallele

V. Assiomi di continuità

Gli "Assiomi di incidenza" si riferiscono alla relazione di appartenenza di un punto a una retta o a un piano e simili; gli "assiomi di ordine" riguardono l'ordine reciproco di punti e rette e permettono in particolare di definire i "segmenti" assegnati gli estremi; gli "assiomi di congruenza" regolano la possibilità di sovrapporre sia i segmenti sia gli angoli e fissano la proprietà transitiva di congruenza; l'"assioma delle parallele" è equivalente a quello di Euclide; l'assioma di continuità sono due: il primo-il cosiddetto "assioma di Archimede"-afferma che, dati due segmenti, ripetendo un numero sufficientemente di volte il più piccolo si ottiene un segmento maggiore di quello più grande; il secondo detto di "Cantor"(Georg-1845-1918) o di completezza lineare-equivale a richiedere che su ogni retta si trovano abbastanza punti, in modo che i punti della retta si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri reali. Hilbert e alcuni suoi continuatori dimostrano numerose proprietà fondamentali della geometria euclidea ed in tal modo il contesto delle geometrie non euclidee emerge sempre più chiaramente come lo studio di un sistema di assiomi che differisce da quello di Euclide mette in luce altre possibilà di geometrie.==

Hilbert , Lobacevski, Gaus, inseriscono il concetto di misurabilità dei corpi. In pratica gli enti geometrici sono delle identità astratte, il punto non è assimilabile ad un piccolissimo sferoide, la retta un solido più o meno cilindrico. Le entità Geometriche astratte sono necessari allo sviluppo di tutte le geometrie, è come una griglia dove si fanno entrare gli oggetti di solito tridimensionali, ma anche quadridimensionali (su questo poi vedremo) e si vede se si può approssimare ad una sfera ad una piramide, ad una proiezione triangolare. Quindi la geometria tradizionale( Euclidea) serve ad approssimare la realtà, ma sembra più efficage rappresentarla con una nuova geometria che è più vicino al vero. Entra in azione la misurabilità, come nella fisica, la geometria euclideaa è inefficace per le grandi misure. Esempio: (Per Euclide) prendiamo due rette parallele r ed s e la loro distanza è AB=10Km presa perpendicolare, il punto A è su r il punto B su s, da B tracciamo un segmente di BC in modo tale che si formi il triangolo ABC retto in A, con un buon calcolatore applicando sia il teorema di Pitagora che la trigonometria troveremmo i seguenti valori del triangolo: AC= Km.299.999,9998 angolo interno al triangolo in B°= 89°,99787793 in C°=0°,002122065. A questo punto, sebbene, seconto il III.assioma di congruenza di Hilbert, le due rette sono parallele in quanto la trasversale di esse è superiore al cateto sulla retta r, quindi vi è congruenza, essendo cosi' minime le differenze si mette in dubbio la congruità stessa. si nota: i)che la differenza tra ipotenusa (trasversale) è di appena 0,002 metri, cioè appena 2 centimetri; ii) che la differenza tra l'angolo A° retto e l'angolo B° è di 0°,002122065 in misura sessadecimale.

Il piano è otticamente deformato ( si pensi a disegnarlo), sempre che si tratti di piano e non di spazio. Da ciò prendono avvio le geometrie non euclidee.

Nasce "Lo spazio pseudoeuclideo" della relatività speciale usato da Albert Einstein che riconduceva la deformazione (del calcolo di sopra) ad effetti ottici. In effetti si è usata la misura di Km.300.000 perchè è il percorso che la luce percorsa in un sec. Ammettiamo che le rette r ed s, con la loro distanza come l'es. di sopra, siano due rette "rigide", abbiamo con la trasversale BC creato un triangolo ABC all'interno delle parallele, con i valori calcolati sopra. Ammettiamo che sia da A parte un raggio di luce seguendo il percorso rettilineo uniforme della retta rigida r, la luce che parte da A e che si fermerà nel punto C avrà impiegato meno di un secondo. Contemporaneamente da B parte lo stesso raggio di luce che incontrerà C, nella retta r, esattamente in un secondo. Se ne deduce che i i raggi non si incontreranno mai, il punto C, visivamente, è inesistente rispetto ai due raggi di luce che partono da A e da B, in quando non si incontreranno mai. Quindi, per questa volta, il III assioma di congruenza di Hilbert non viene soddisfatto. Per meglio evidenziare i segmenti curvi per formare il triangolo prendiamo l'estremo dell'esempio: siano r ed s due rette parallele, rettilinee e rigidem su r prendiamo un punto A e tirimo la perpendicolare verso s fino ad incontrare il punto B, la misura della distanza delle due parallele sia AB= 1 Km, da B tracciamo un segmmento di km.300.000 fino ad incontrare r nel punto C. A questo punto abbiamo il triangolo (per Euclide retto in A°) ABC, con un calcolatore, usando la Trigonometria troveremo l'angolo C°= 0°, 00212206 -gradi sessadecimali AC= Km.300.000,08351 L'angolo in B°= 89,°99978779 Evidente che usando Euclide il triango retto è incongruente perchè ha il cateto AC sulla retta r superiore all'ipotenusa. Viene fuori un'immagine deformata con i segmenti del triangolo curvi. Si può obiettare che il calcolatore con un rapporto tra una misura piccola ed una grande non è in grado di darci le misure esatte, ma facendo partire due raggi di luce da A e B, le rette r ed s si incontrano in C formando un particolare triangolo, con AB rettilineo AC e BC curvi con un angolo in C°= 0,00212206. Che è un coefficiente angolare di deviazione. Per costruire le basi di UNA GEOMETRIA assoluta, è NECESSARIO FARE RIFERIMENTO AD UN'ORIGINE 0, TOPOLOGICAMENTE POSIZIONATA ED ORIENTATA, dalla quale partono raggi di luce che vanno ad investire il solido da rilevare, dandoci il valore della distanza e quello degli angoli azimutali. L'origine potrebbe essere relativa, come la terra, o meno relativa come il sole. Per rilevare oggetti più vicini a noi useremo non i raggi di luce ma le misure con gli strumenti odierni, che non interferiscono con la misurazione, altrimenti è preferibile il raggio di luce. LA GEOMETRIA ASSOLUTA si basa nella ricerca olistica di captare la realtà e di descriverla, tenendo anche conto dello spazio pseudoeuclideo, ed euclideo.Il rilievo geometrico o l'ideazione di figure piane e solide deve tenere conto che le piane esistono solo per proiezione in quanto hanno sempre spessore. LA CARATTERISTICA DELLA GEOMETRIA ASSOLUTA deve essere quella di utilizzare tutte le altre geometrie al fine di rilevare la realtà delle cose, teorizzarle, postularle. Ma mai fermarsi ad un solo metodo. La geometria assoluta deve tenere conto dello spazio e della velocità della luce. A questo punto divergono le strade tra lo spazio dell'astratta geometria euclidea e lo spazio fisico. Essa deve costruire un apparato, assiomatico, un sensore capace di rilevare la realtà ed i segnali provenienti da essa debbono modificare l'apparato sensore in modo permanente , in tal modo noi lo modifichiamo per essere sempre più efficace, il tutto in modo dialettico. La scieza va avanti così, non rinnega il vecchio, ma ne evidenzia i limiti, esperimenta il nuovo e nel tempo lo modifica.

<bibliografia: Gilles Cohen, Renato Betti, Roberto Lucchetti, Guglielmo Tamburrini, Claudio Citrini ,Primo Brandi-B.Mondadore 2005>

^ Si preferisce riferirsi agli assiomi di Hilbert e non ai postulati di Euclide perché meglio formulati.

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