Sistema simmetrico

Un sistema di due equazioni con due incognite si dice simmetrico quando, scambiando tra loro le incognite (cioè sostituendo la $x$ alla $y$ e la $y$ alla $x$), le equazioni del sistema non mutano.

Tipi di sistemi simmetrici

Sono simmetrici i seguenti sistemi:

$\left\{{\begin{matrix}3x+3y=2\\5xy=-6\end{matrix}}\right.\qquad \left\{{\begin{matrix}9x^{2}+9y^{2}=10\\x+y=2/3\end{matrix}}\right.$

Osserviamo che in ogni equazione, ridotta a forma normale, d'un sistema simmetrico accade sempre che se essa contiene, ad esempio, il termine $3x^{2}$ deve contenere anche il termine $3y^{2}$; se contiene il termine $6x^{2}y$ deve contenere anche il termine $6xy^{2}$ e così via. È evidente poi che se $x=\alpha ,y=\beta$ è una soluzione di un sistema simmetrico, anche $x=\beta ,y=\alpha$ è soluzione del sistema.

Il più semplice sistema simmetrico, detto elementare o fondamentale, è della forma:

$\left\{{\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}}\right.$

essendo $S$ e $P$ due numeri reali.

Esistono anche sistemi di grado superiore e possono essere ricondotti a questi

$1)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.$

$2)\left\{{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.$

$3)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\xy=P\end{matrix}}\right.$

con $A$ appartenente ai numeri reali

Metodi di risoluzione

Per risolvere il sistema elementare introduciamo la variabile ausiliaria $t$ e scriviamo l'equazione $t^{2}-st+p$. Le due soluzioni $t_{1}$ e $t_{2}$ sono le soluzioni del sistema. Possiamo utilizzare piccoli accorgimenti attraverso le Formule di Waring per rendere gli altri sistemi uguali a quello elementare.

$1)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.$

Sapendo che $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:

$\left\{{\begin{matrix}xy=(S^{2}-A)/2\\x+y=S\end{matrix}}\right.$

In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.

$2)\left\{{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.$

Sapendo che $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:

$\left\{{\begin{matrix}xy=(S^{3}-A)/3s\\x+y=S\end{matrix}}\right.$

In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.

$3)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\xy=P\end{matrix}}\right.$

Sapendo che $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ otteniamo il sistema

$\left\{{\begin{matrix}xy=P\\(x+y)^{2}=A+2P\end{matrix}}\right.$

Se $a+2p<0$ non ci sono soluzioni reali.

Se $a+2p\geq 0$ esiste la radice reale. Le soluzioni saranno date dall'unione di due sistemi elementari:

$\left\{{\begin{matrix}xy=P\\x+y={\sqrt {A+2P}}\end{matrix}}\right.$

e

$\left\{{\begin{matrix}xy=P\\x+y=-{\sqrt {A+2P}}\end{matrix}}\right.$

Bibliografia

• Bertocchi, Corazzon, Matematica vol. 2, Alpha test, ISBN 8848300383.
• Bergamini, Trifone, Barozzi, Manuale di algebra vol. 2 Terza edizione, Zanichelli, ISBN 9788808110534.

Voci correlate

• Formule di Waring
• Edward Waring
• Polinomio simmetrico
• Sistema di equazioni
• Sistema