Utente:TheRukk/Sandbox

Dimostrazione

Per prima cosa, supponiamo che l'applicazione lineare esista e dimostriamone l'unicità.

Preso un qualunque vettore $\mathbf {v} \in V$ esso può essere rappresentato unicamente secondo la base scelta $(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ come $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$. Essendo $f$ lineare avremo che:

$$f(\mathbf {v} )=f(a_{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +a_{n}\mathbf {v} _{n})=a_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\ldots +a_{n}f(\mathbf {v} _{n})=a_{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +a_{n}\mathbf {w} _{n}$$

L'immagine di $\mathbf {v}$ è determinata quindi solamente dalle sue coordinate rispetto alla base scelta, indipendentemente dall'applicazione scelta.

In particolare supponiamo esistano due applicazioni $f$ e $g$ tali che $f(\mathbf {v} _{i})=g(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i}\quad \forall \ i=1,\ldots ,n$ e dimostriamo che f e g coincidono.

$$f(\mathbf {v} )=f(a_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}\mathbf {v} _{n})=a_{1}f(\mathbf {v} _{1})\cdot \ldots \cdot a_{n}f(\mathbf {v} _{n})={\underline {a_{1}\mathbf {w} _{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}\mathbf {w} _{n}}}$$

$$g(\mathbf {v} )=g(a_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}\mathbf {v} _{n})=a_{1}g(\mathbf {v} _{1})\cdot \ldots \cdot a_{n}g(\mathbf {v} _{n})={\underline {a_{1}\mathbf {w} _{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}\mathbf {w} _{n}}}$$

da cui $f$ e $g$ coincidono. $\blacksquare$

Per dimostrare l'esistenza della funzione