Utente:SpiritoLibero/Sandbox/Tesina

Per capire cosa effettivamente venisse richiesto in quegli anni riporto alcuni tra i problemi geometrici a mio avviso più significativi ed interessanti:

Sono dati, in un piano, un circolo e due punti. Tirare una tangente al circolo in modo che la somma delle distanze delle tangenti dai due punti sia uguale a una lunghezza data. (1906)

In un piano sono dati due circoli che si tagliano in due punti. Si domanda di condurre per uno di questi punti una retta sulla quale le corde staccate dai due circoli stiano fra loro in rapporto dato. (1909)

In un dato quadrilatero inscrivere un parallelogrammo il cui centro cada in un punto dato. (1912)

In un triangolo ABC è inscritto un triangolo A’B’C’, i cui vertici A’, B’, C’ cadono rispettivamente sui lati BC, CA, AB del primo. Dimostrare che i tre circoli A’B’C, B’C’A, C’A’B passano per un medesimo punto. (1917)

Dimostrare geometricamente che l’area di un quadrilatero dipende solamente dalla lunghezza delle due diagonali e dal loro angolo. (1920)

Condurre un piano che seghi un dato angolo tetraedro in un parallelogrammo. (1926)

In un piano sono dati due rette e un punto. Costruire un cerchio passante per il punto e tangente alle due rette. Discussione. (1928)

I problemi di probabilità assegnati nei vari anni sono i seguenti:

È più facile, gettando un dado, ottenere una volta 6, oppure, gettandolo tre volte ottenere tutte e tre le volte un numero pari? (1960)

Due amici si sono iscritti alla prima classe di un liceo. Tale liceo ha due sezioni, le cui prime classi hanno rispettivamente n ed m studenti, con m ed n compresi tra 20 e 30. Sapendo che i due amici si trovino nella stessa classe è ½, dire quanti sono gli alunni delle due classi. (1983)

Tizio si trova nella sua abitazione e deve prendere un treno che parte dalla stazione esattamente tra mezz’ora. Sotto la sua abitazione c’è la fermata degli autobus della linea A che lo portano alla stazione in 20 minuti. A 5 minuti vi è una fermata delle linee B e C che lo possono portare alla stazione in 18 minuti. Tizio non conosce l’orario di passaggio degli autobus, ma sa che su ognuna delle linee gli autobus passano ogni quarto d’ora. Quale strategia conviene a tizio per avere maggior probabilità di prendere il treno? (1987)

Su un treno, inizialmente senza passeggeri e formato da n carrozze, salgono k viaggiatori disponendosi in modo casuale e indipendente l’uno dall’altro. Qual è la probabilità che solo tre carrozze siano occupate da almeno un viaggiatore?(1991)

In un piano cartesiano un oggetto puntiforme parte dal punto (0,2n) (con n intero positivo) e scende fino all’asse delle ascisse compiendo 2n passi, con la seguente regola: se prima di compiere un passo si trova nel punto di coordinate intere (k, l) può recarsi o in (k-1, l-1) o in (k+1,l+1) con uguale probabilità. Le mosse sono indipendenti. Si indichi con pn(k) la probabilità che dopo 2n passi l’oggetto si trovi nel punto (k,0).

1. calcolare pn(k).
2. mostrare che $2p_{n}(2)\geq {\frac {1}{2n+1}}$

(1993)

Vi sono 4 città collegate a due a due da 6 strade che non si intersecano (cioè ogni coppia di città è collegata da una sola strada). Tutte le strade sono aperte al traffico con la stessa probabilità p=½ . Determinare la probabilità che in un determinato istante partendo da una qualsiasi città si possa arrivare ad ogni altra città. (1994)

Un dado è appoggiato u un piano. Un bambino lo muove n volte, facendolo rotolare(senza strisciare) ogni volta su uno dei lati della faccia si cui è appoggiato. Si suppone che la prima mossa sia casuale e che, ad ogni mossa successiva, il bambino scelga casualmente di far rotolare il cubo su uno dei due lati contigui al lato scelto in precedenza. Dimostrare che se il cubo è tornato nella posizione iniziale (non necessariamente appoggiato sulla stessa faccia) allora n è divisibile per quattro. Calcolare le probabilità p(n) che il cubo sia tornato nella posizione iniziale. Dimostrare che ${\frac {5}{16k}}-{\frac {1}{16k^{2}}}\leq p(4k)\leq {\frac {1}{3k}}-{\frac {1}{12k^{2}}}\quad k\geq 1$ (1997)

Peraltro l’unico tema di algebra vero e proprio è stato assegnato nel 1992:

È assegnata una legge che a ogni coppia di interi x,y associa un intero x  y in modo che

x  (y+x)= y x+ z  y

per tutti gli interi x,y,z. si dimostri che x  y =xy (1 1).

Per il resto si trovano problemi di vario livello ma sempre lontani da quello che poteva essere l’insegnamento della matematica delineato nei programmi del tempo, come si intuisce dai seguenti esempi:

Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga 8 cm, l’altra lunga 11 cm, la terza illimitata. Dire con quale precisione si può misurare la distanza dei due punti. (1962)

Due cercatori d’oro hanno due grandi sacchi di pezzi d’oro. Il primo ha solo pezzi da 15 grammi, il secondo da 21 grammi. Può il primo pagare esattamente un debito di 27 grammi d’oro? Potrebbe invece il secondo pagare esattamente al primo un debito di 29 grammi d’oro?(1963)

Dimostrare che ogni numero primo diverso da 2 si può scrivere in modo unico come differenza di due quadrati di interi. (1965)

Provare che il prodotto di quattro interi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che, aggiungendo al prodotto trovato 1, si ottiene sempre un quadrato perfetto. (1968)

È immediato constatare che ogni numero dispari e somma di due numeri consecutivi. Dimostrare, più in generale, che ogni numero avente un divisore dispari maggiore di uno è somma di (più) numeri consecutivi. Vi sono altri numeri aventi questa proprietà? (1970)

Mostrare che, per ogni intero positivo n, il numero 5n+23n-1+1 è divisibile per 8. (1976)

Determinare gli interi positivi p, q, N per cui (p+q)N=2(pN+qN). (1981)

Sia n un intero maggiore di 2. Mostrare che la somma dei cubi dei numeri che sono primi con n e inferiori a esso è divisibile per n. (1982)

Si considerino i polinomi p(x)=x2-2x+2, q(x)=p(p(x)); a) provare che le radici dell’equazione p(x)=x sono anche radici di q(x)=x; b) trovare le radici dell’equazione q(x)=x. (1983)