Utente:Penaz/AnalisiD

Trasformata di Fourier in $L^{1}(\mathbb {R} )\!$

Sia $u\in L^{1}(\mathbb {R} ):x\to u(x)\!$ si definisce trasformata di Fourier della funzione $u\!$:

${\hat {u}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u(x)\,dx\qquad \forall \xi \in \mathbb {R} \!$

indichiamo l'operazione con la lettera F calligrafica, perciò:

${\mathcal {F}}:u\to {\hat {u}}\!$

Si può estendere questa definizione anche per funzioni $u(\mathbf {x} )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$:

${\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }}):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \qquad \forall {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{n}\!$

Dove ${\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} \!$ rappresenta il prodotto scalare.

Esempi

Sia $u(x)=\chi _{[-1,+1]}(x)\!$, perciò:

${\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}\chi _{[-1,+1]}(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}e^{-i\xi x}\,dx={\left[{\frac {e^{-i\xi x}}{-i\xi }}\right]}_{-1}^{+1}={\frac {e^{i\xi }-e^{-i\xi }}{i\xi }}=2{\frac {\sin \xi }{\xi }}\!$

Sia $u(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\!$, perciò:

${\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u(x)\,dx=v.p.\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u(x)\,dx$

Ora applicando il principio del prolungamento analitico e il lemma di Jordan otteniamo:

$\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u(x)\,dx={\begin{cases}\pi e^{\xi }&\xi <0\\\pi e^{-\xi }&\xi >0\end{cases}}$

Mettendo insieme le due cose otteniamo:

${\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{-i\xi x}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi e^{-|\xi |}\!$

Teoremi

Elenchiamo le principali proprietà della trasformata di Fourier, utili per lo studio a priori e il calcolo di esse:

• La trasformata di Fourier è un operatore lineare:

${\mathcal {F}}\left\{\alpha u+\beta v\right\}(\xi )=\alpha {\mathcal {F}}\{u\}(\xi )+\beta {\mathcal {F}}\{v\}(\xi )\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\forall u,v\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$

Presa una funzione $u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ e la sua trasformata ${\hat {u}}(\xi )={\mathcal {F}}\{u\}(\xi )\!$

• Se $u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ è pari $\implies {\hat {u}}(\xi )\!$ è pari.
• Se $u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ è dispari $\implies {\hat {u}}(\xi )\!$ è dispari.
• Se $u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ è reale pari $\implies {\hat {u}}(\xi )\!$ è reale pari.
• Se $u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ è reale dispari $\implies {\hat {u}}(\xi )\!$ è immaginaria pura dispari.
• Scaling: ${\mathcal {F}}\{u(ax)\}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\mathcal {F}}\{u(x)\}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\!$
• Shifting: ${\mathcal {F}}\{u(x-a)\}(\xi )=e^{ia\xi }{\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi )\!$
• Modulazione complessa: ${\mathcal {F}}\{e^{iax}u(x)\}(\xi )={\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi -a)\!$
• Modulazione reale: ${\mathcal {F}}\{\cos(\xi _{0}x)u(x)\}(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi -\xi _{0})+{\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi +\xi _{0})}{2}}\!$

Esempi

Prendiamo la funzione $u(x)=\chi _{[-1,+1]}(x)\!$, come già sappiamo la sua trasformata è ${\hat {u}}(\xi )=2{\frac {\sin {\xi }}{\xi }}\!$

• Siccome $u(x)\!$ è reale pari, anche ${\hat {u}}(\xi )\!$ lo sarà, infatti è tale.

• Calcoliamo ${\mathcal {F}}\left\{u\left({\frac {x}{n}}\right)\right\}(\xi )\!$, applicando il teorema descritto in precedenza per l'operazione di scaling otteniamo:

${\mathcal {F}}\left\{u\left({\frac {x}{n}}\right)\right\}(\xi )=|n|{\mathcal {F}}\{u(x)\}(n\xi )=2|n|{\frac {\sin {n\xi }}{n\xi }}\!$

• Calcoliamo ${\mathcal {F}}\left\{{\frac {|n|}{2}}u\left(nx\right)\right\}(\xi )\!$, applicando la linearità della trasformata di Fourier e il teorema per lo scaling:

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {|n|}{2}}u\left(nx\right)\right\}(\xi )={\frac {|n|}{2}}{\frac {1}{|n|}}{\mathcal {F}}\{u(x)\}\left({\frac {\xi }{n}}\right)={\frac {\sin {\frac {\xi }{n}}}{\frac {\xi }{n}}}\!$

• Calcoliamo ${\mathcal {F}}\left\{\cos {(\xi _{0}x)}u(x)\right\}(\xi )\!$, applicando il teorema per la modulazione reale:

${\mathcal {F}}\left\{\cos {(\xi _{0}x)}u(x)\right\}(\xi )={\frac {\sin {(\xi -\xi _{0})}}{\xi -\xi _{0}}}+{\frac {\sin {(\xi +\xi _{0})}}{\xi +\xi _{0}}}\!$

Teorema Riemann - Lebesgue

Sia $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$, se ${\hat {u}}={\mathcal {F}}\{u\}$, allora:

1. ${\hat {u}}\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\!$
2. ${\left\|{\hat {u}}\right\|}_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\left\|u\right\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!$
3. $\lim _{\|{\boldsymbol {\xi }}\|\to \infty }{\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})=0\!$

Dimostrazione

Dimostrazione del punto 1

Siccome la variabile ${\boldsymbol {\xi }}\!$, per definizione della trasformata di Fourier, appartiene a $\mathbb {R} ^{n}\!$ ed essendo quest'ultimo uno spazio di Banach, presa una successione di Cauchy $\{{\boldsymbol {\xi }}_{n}\}\!$ essa convergerà a un valore ${\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{n}\!$, perciò avremo:

$\{{\boldsymbol {\xi }}_{n}\}\in \mathbb {R} ^{n}:{\boldsymbol {\xi }}_{n}\to {\boldsymbol {\xi }}\!$

Allora anche la successione $e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\!$ sarà di Cauchy e convergente:

$e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\to e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\!$

Ora la nostra idea, per dimostrare la continuità dalla funzione trasformata, si basa sul teorema di Lebesgue, dovremo quindi dimostrare la convergenza dell'integrale:

${\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }}_{n})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} ={\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})\!$

Per fare ciò dovremo trovare una funzione $M(x)\!$, Lebesgue integrabile tale che $|e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )|\leq M(x)\!$ quasi ovunque in $\mathbb {R} ^{n}\!$. Questa operazione è facilitata dal fatto che $|e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }|=1\!$ e che $u(\mathbf {x} )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$, perciò le ipotesi del teorema di Lebesgue sono soddisfatte e la convergenza è dimostrata, da questo ${\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})\!$.

La dimostrazione di ${\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\!$ sarà conseguenza immediata della dimostrazione del punto successivo.

Dimostrazione del punto 2

La dimostrazione del seguente punto avviene attraverso una banale minorazione.

$|{\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})|=\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \right|\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\right|\cdot \left|u(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|u(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} ={\|u\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!$

Quindi:

${\|{\hat {u}}\|}_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\|u\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!$

e non è migliorabile se $u\geq 0\!$:

$|{\hat {u}}(0)|=\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{0}u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \right|=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(\mathbf {x} )|\,d\mathbf {x} =\|u(x)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!$

Dimostrazione del punto 3

Consideriamo la funzione $\chi _{[a;b]}(x)\!$, quindi:

${\hat {\mathrm {X} }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i{\boldsymbol {\xi }}x}\chi _{[a;b]}(x)\,dx=\int _{a}^{b}e^{-i\xi x}\,dx={\left[{\frac {e^{-i\xi x}}{-i\xi }}\right]}_{a}^{b}={\frac {e^{-i\xi a}-e^{-i\xi b}}{i\xi }}\!$

Notare che $\xi =0\!$ è una singolarità apparente e ${\hat {\mathrm {X} }}(\xi )\to 0,\,|\xi |\to \infty \!$. Definiamo ora la successione:

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\chi _{I_{k}}\!$

Siccome la trasformata della funzione $\chi _{[a;b]}\!$ è infinitesima, anche la somma di trasformate lo sarà. Perciò se $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$, allora $\exists \epsilon >0\!$ e $\exists u_{n}\!$ della forma:

$u_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\chi _{I_{k}}\!$

tale che $u_{n}\to u\!$ quasi ovunque, cioè:

$\|u-u_{n}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}<\epsilon \!$

Inoltre $\exists R>0\!$ tale che $|{\hat {u}}_{n}(\xi )|<\epsilon \!$ se $\|\xi \|>R\!$, quindi:

${\hat {u}}(\xi )={\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )+{\hat {u}}_{n}(\xi )\leq |{\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )|+|{\hat {u}}_{n}(\xi )|\!$

Per $\|\xi \|>R\!$:

$|{\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )|+|{\hat {u}}_{n}(\xi )|\leq \|{\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )\|_{L^{(}\mathbb {R} ^{n})}+\epsilon \leq 2\epsilon \!$

Riassumendo, per $\|\xi \|>R\!$:

$|{\hat {u}}(\xi )|<2\epsilon \!$

Teoremi

Teorema 1

Siano $u(x),\,x\cdot u(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ allora ${\mathcal {F}}\{u\}\in C^{1}(\mathbb {R} )\!$ e:

${\mathcal {F}}\{x\cdot u\}=i\cdot {\frac {d}{d\xi }}{\mathcal {F}}\{u\}(\xi )\!$

Dimostrazione

${\frac {{\hat {u}}(\xi +h)-{\hat {u}}(\xi )}{h}}=\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{-i\xi x}\left(e^{-ihx}-1\right)}{h}}u(x)\,dx\to -i\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}xu(x)\,dx\!=-i{\mathcal {F}}\{x\cdot u(x)\}$

Osservazione

Più in generale per funzioni in $\mathbb {R} ^{n}\!$, se $u(\mathbf {x} ),\left\|\mathbf {x} \right\|u(\mathbf {x} )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\implies {\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})\in C^{1}$ e:

${\mathcal {F}}\{x_{j}u(\mathbf {x} )\}=i{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi _{j}}}$

Teorema 2

Siano $u(x),\,u'(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$ allora

${\mathcal {F}}\{u'\}=i\xi {\mathcal {F}}\{u\}\!$.

Più in generale se $u(\mathbf {x} ),\,{\frac {\partial \,u(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$ allora

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial \,u(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\right\}=i\xi _{j}{\mathcal {F}}\{u\}\!$

Nota bene: con la trasformata di Fourier l'operatore differenziale diventa una moltiplicazione per una potenza di $i\xi \!$, infatti se $u,u',...,u^{(k)}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$ allora:

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{k}\,u(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}^{k}}}\right\}=(i\xi _{j})^{k}{\mathcal {F}}\{u\}\!$

Per la dimostrazione di questo teorema citiamo prima un lemma.

Lemma

$u,u'\in L^{1}\implies \exists \lim _{x\to \infty }u(x)=0\!$

Dimostrazione

Calcoliamo semplicemente la trasformata della derivata della funzione $u\!$

${\hat {u'}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u'(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u'(x)\,dx\!$

Integriamo per parti:

$\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u'(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}i\xi e^{-i\xi x}u(x)\,dx+{\left[e^{-i\xi x}u(x)\right]}_{-\infty }^{+\infty }\!$

Per il lemma:

${\left[e^{-i\xi x}u(x)\right]}_{-\infty }^{+\infty }=0\!$

Concludendo:

$\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}i\xi e^{-i\xi x}u(x)\,dx=i\xi {\hat {u}}(\xi )\!$

Trasformate notevoli

$u(x)\!$	${\hat {u}}(\xi )\!$
${\frac {1}{1+x^{2}}}\!$	$\pi e^{-|\xi |}\!$
$e^{-|x|}\!$	${\frac {2}{1+\xi ^{2}}}\!$
$\chi _{[-1;1]}\!$	${\frac {2\sin {\xi }}{\xi }}\!$
${\frac {\sin {x}}{\pi x}}\!$	$\chi _{[-1;1]}\!$
$(1-|x|)\chi _{[-1;1]}\!$	${\frac {4\sin {\left({\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)}}{\xi ^{2}}}\!$

Funzioni assolutamente continue

Sia $G\in C^{1}\cap L^{1}\!$ se $\exists g\in L^{1}\!$ tale che

$G(x)=G(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}g(t)\,dt\!$

allora $G\!$ è assolutamente continua ($G\in AC\!$).

Invece si dirà assolutamente continua locale ($G\in AC_{loc}\!$) se $g\in L_{loc}^{1}\!$.

Esempi

$G(x)=(1-|x|)\chi _{[-1,+1]}(x)\!$ è assolutamente continua infatti si ottiene integrando la funzione $g(x)=-{\mbox{sign}}(x)\chi _{[-1,+1]}(x)\!$ (graficamente è più semplice da vedere).

Invece la funzione $G(x)=\chi _{[0,1]}(x)\!$ possiede sempre derivata nulla, ma non è l'integrale di 0.

Anche la funzione $e^{-|x|}\in AC\!$.

Funzioni Gaussiane

Di fondamentale importanza per lo studio delle trasformate di Fourier è la conoscenza delle funzioni gaussiane e le loro principali proprietà. Cominciamo prendendo la più semplice

$u(x)=e^{-x^{2}}\!$

La prima cosa che si deve osservare è $u(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$, perciò calcoliamo il valore dell'integrale fatto su $\mathbb {R} \!$. Prendiamo la funzione:

$v(x)=e^{-(x^{2}+y^{2})}=e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\!$

e ne calcoliamo l'integrale su $\mathbb {R} ^{2}\!$, portando tutto in coordinate polari:

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}v(x)\,dx\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\!$

$=\int _{[0;2\pi ]\times [0;+\infty ]}e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{+\infty }e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \ =\pi \!$

Ora, ritornando alla funzione iniziale:

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}v(x)\,dx\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx\int _{\mathbb {R} }e^{-y^{2}}\,dy={\left(\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx\right)}^{2}\!$

Concludendo:

$\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\!$

Di facile dimostrazione (applicando un cambio di variabile) anche:

$\int _{\mathbb {R} }e^{-(x+i\,b)^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\qquad b\in \mathbb {R} \!$

Ora calcoleremo ${\hat {u}}\!$ sfruttando i calcoli appena fatti:

${\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi \,x}e^{-x^{2}}\,dx=\int _{\mathbb {R} }e^{-(i\xi \,x+x^{2})}\,dx=\!$

$=\int _{\mathbb {R} }e^{-\left(x^{2}+i\xi \,x\pm {\frac {\xi ^{2}}{4}}\right)}\,dx=\int _{\mathbb {R} }e^{-\left(x+i{\frac {\xi }{2}}\right)^{2}}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{4}}}\,dx={\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{4}}}\!$

Più in generale:

$e^{-ax^{2}}\to {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{4a}}}\!$

$e^{-a\|\mathbf {x} \|^{2}}\to {\left({\frac {\pi }{a}}\right)}^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{2}}{4a}}}\qquad \mathbf {x} ,\,{\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{n}\!$

La dimostrazione di quest'ultima avviene in modo analogo alla precedente:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }e^{-\|\mathbf {x} \|^{2}}\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\sum _{j=0}^{n}\left(i\xi _{j}x_{j}+x_{j}^{2}\right)}\,d\mathbf {x} =\!$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=0}^{n}e^{-i\xi _{j}x_{j}+x_{j}^{2}}\,d\mathbf {x} =\prod _{j=0}^{n}\left(\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi _{j}x_{j}+x_{j}^{2}}\,dx_{j}\right)=\!$

$=\prod _{j=0}^{n}{\sqrt {\pi }}e^{\frac {-\xi _{j}^{2}}{4}}={\sqrt {\pi }}^{n}e^{-{\frac {\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{2}}{4}}}\!$

Convoluzione

Siano $f,\,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$, si definisce l'operazione di convoluzione come:

$(f*g)(\mathbf {x} ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {y} )g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\,d\mathbf {x} \!$

L'operazione di convoluzione è lineare (dalla proprietà degli integrali) ed è commutativa (per sostituzione):

• $((\alpha f+\beta g)*h)=\alpha (f*h)+\beta (g*h)\qquad \forall f,\,g,\,h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\,\forall \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!$
• $f*g=g*f\qquad \forall f,\,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$

Ed è anche associativa (per Fubini - Tonelli):

• $(f*g)*h=f*(g*h)\qquad \forall f,\,g,\,h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$

Teorema

Siano $f,\,g\in L^{1}\!$, allora $f*g\in L^{1}\!$

Dimostrazione

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|(f*g)(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {y} )g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\,d\mathbf {y} \right|\,d\mathbf {x} \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f(\mathbf {y} )\right|\left|g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right|\,d\mathbf {y} \,d\mathbf {x} =\!$

per il teorema di Fubini - Tonelli:

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f(\mathbf {y} )\right|\left|g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right|\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {y} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f(\mathbf {y} )\right|\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right|\,d\mathbf {x} \right)\,d\mathbf {y} =\|f\|_{L^{1}}\|g\|_{L^{1}}\!$

Quindi:

$\|f*g\|_{L^{1}}\leq \|f\|_{L^{1}}\|g\|_{L^{1}}<+\infty \!$

Teorema

Siano $f,\,g\in L^{1}\!$, allora ${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}{\mathcal {F}}\{g\}$