Sia
si definisce trasformata di Fourier della funzione
:
![{\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u(x)\,dx\qquad \forall \xi \in \mathbb {R} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b1a4ba747973e0799384198281cbab0eb5bb01)
indichiamo l'operazione con la lettera F calligrafica, perciò:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}:u\to {\hat {u}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3797223beec44567b24d8ff7b492631284326c1e)
Si può estendere questa definizione anche per funzioni
:
![{\displaystyle {\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }}):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \qquad \forall {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{n}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a219289520871be3bdb2e0ed89afb39798f2da)
Dove
rappresenta il prodotto scalare.
Sia
, perciò:
![{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}\chi _{[-1,+1]}(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}e^{-i\xi x}\,dx={\left[{\frac {e^{-i\xi x}}{-i\xi }}\right]}_{-1}^{+1}={\frac {e^{i\xi }-e^{-i\xi }}{i\xi }}=2{\frac {\sin \xi }{\xi }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1296a7dc0e5fadc707842aadaccb9f6c9ecf263f)
Sia
, perciò:
![{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u(x)\,dx=v.p.\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864c333d0a286af6739b90fb4bb378a9cf40b1e7)
Ora applicando il principio del prolungamento analitico e il lemma di Jordan otteniamo:
![{\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u(x)\,dx={\begin{cases}\pi e^{\xi }&\xi <0\\\pi e^{-\xi }&\xi >0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9406f72ad26c6e440e643f8a5dacdc1e0f5c1b03)
Mettendo insieme le due cose otteniamo:
![{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{-i\xi x}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi e^{-|\xi |}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4f0d12a60ec5d2bb75ac3b2902326eacc98962)
Elenchiamo le principali proprietà della trasformata di Fourier, utili per lo studio a priori e il calcolo di esse:
- La trasformata di Fourier è un operatore lineare:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\alpha u+\beta v\right\}(\xi )=\alpha {\mathcal {F}}\{u\}(\xi )+\beta {\mathcal {F}}\{v\}(\xi )\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\forall u,v\in L^{1}(\mathbb {R} )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdbf87aaf58ea7857a4babc3d27b8ee2bdb2264)
Presa una funzione
e la sua trasformata
- Se
è pari
è pari.
- Se
è dispari
è dispari.
- Se
è reale pari
è reale pari.
- Se
è reale dispari
è immaginaria pura dispari.
- Scaling:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u(ax)\}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\mathcal {F}}\{u(x)\}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac06413126d3a415c2ec5d6f60864e4e48012e2)
- Shifting:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u(x-a)\}(\xi )=e^{ia\xi }{\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3220522cac2db7cf40d29feb2ddcfc114c5b2030)
- Modulazione complessa:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{iax}u(x)\}(\xi )={\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi -a)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d97132a0f115a525f5527c342bc7ea40423ef2)
- Modulazione reale:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\cos(\xi _{0}x)u(x)\}(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi -\xi _{0})+{\mathcal {F}}\{u(x)\}(\xi +\xi _{0})}{2}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c603befe27f270a533a4fb3a4b1cc1b9591fe114)
Prendiamo la funzione
, come già sappiamo la sua trasformata è
- Siccome
è reale pari, anche
lo sarà, infatti è tale.
- Calcoliamo
, applicando il teorema descritto in precedenza per l'operazione di scaling otteniamo:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{u\left({\frac {x}{n}}\right)\right\}(\xi )=|n|{\mathcal {F}}\{u(x)\}(n\xi )=2|n|{\frac {\sin {n\xi }}{n\xi }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e84130f061681952c4630a52274b118063e446)
- Calcoliamo
, applicando la linearità della trasformata di Fourier e il teorema per lo scaling:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {|n|}{2}}u\left(nx\right)\right\}(\xi )={\frac {|n|}{2}}{\frac {1}{|n|}}{\mathcal {F}}\{u(x)\}\left({\frac {\xi }{n}}\right)={\frac {\sin {\frac {\xi }{n}}}{\frac {\xi }{n}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f392ebfe85cfccbca120cdc16480be62b0f941)
- Calcoliamo
, applicando il teorema per la modulazione reale:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\cos {(\xi _{0}x)}u(x)\right\}(\xi )={\frac {\sin {(\xi -\xi _{0})}}{\xi -\xi _{0}}}+{\frac {\sin {(\xi +\xi _{0})}}{\xi +\xi _{0}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b92c419b64034c201aea6bdd9465015b58ce757)
Sia
, se
, allora:
![{\displaystyle {\hat {u}}\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417dc7425f0152643205fdf0d3134d70dcee56dd)
![{\displaystyle {\left\|{\hat {u}}\right\|}_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\left\|u\right\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042ea2d94c7fbefa8c8ceb0ca2d32815144cb1f1)
![{\displaystyle \lim _{\|{\boldsymbol {\xi }}\|\to \infty }{\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})=0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8655077dc59b997416672251b63a45786fed2498)
Siccome la variabile
, per definizione della trasformata di Fourier, appartiene a
ed essendo quest'ultimo uno spazio di Banach, presa una successione di Cauchy
essa convergerà a un valore
, perciò avremo:
![{\displaystyle \{{\boldsymbol {\xi }}_{n}\}\in \mathbb {R} ^{n}:{\boldsymbol {\xi }}_{n}\to {\boldsymbol {\xi }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34168b0a3f89b8bb3e09831550c207a2021b2207)
Allora anche la successione
sarà di Cauchy e convergente:
![{\displaystyle e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\to e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d20965a16d49a1b7a73276cb2b8bd1ee7a96d5f)
Ora la nostra idea, per dimostrare la continuità dalla funzione trasformata, si basa sul teorema di Lebesgue, dovremo quindi dimostrare la convergenza dell'integrale:
![{\displaystyle {\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }}_{n})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}_{n}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} ={\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524d9bc790b0eb15190c87e6c21398029b732856)
Per fare ciò dovremo trovare una funzione
, Lebesgue integrabile tale che
quasi ovunque in
. Questa operazione è facilitata dal fatto che
e che
, perciò le ipotesi del teorema di Lebesgue sono soddisfatte e la convergenza è dimostrata, da questo
.
La dimostrazione di
sarà conseguenza immediata della dimostrazione del punto successivo.
La dimostrazione del seguente punto avviene attraverso una banale minorazione.
![{\displaystyle |{\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})|=\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \right|\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|e^{-i{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\right|\cdot \left|u(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|u(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} ={\|u\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed3732859423244c43d3b00de7639e3a8c15b1d)
Quindi:
![{\displaystyle {\|{\hat {u}}\|}_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\|u\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b61ff65dd2339925bf16c88c4dc416309ab3884)
e non è migliorabile se
:
![{\displaystyle |{\hat {u}}(0)|=\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{0}u(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} \right|=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(\mathbf {x} )|\,d\mathbf {x} =\|u(x)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b95db3ba5d790a40fe35262c48bd777439f0a8)
Consideriamo la funzione
, quindi:
![{\displaystyle {\hat {\mathrm {X} }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i{\boldsymbol {\xi }}x}\chi _{[a;b]}(x)\,dx=\int _{a}^{b}e^{-i\xi x}\,dx={\left[{\frac {e^{-i\xi x}}{-i\xi }}\right]}_{a}^{b}={\frac {e^{-i\xi a}-e^{-i\xi b}}{i\xi }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be39334f936d72e291360bfe98675b15b0c73192)
Notare che
è una singolarità apparente e
. Definiamo ora la successione:
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\chi _{I_{k}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e873fcf5408d7c8c5a982b611c59a3fa7cacb418)
Siccome la trasformata della funzione
è infinitesima, anche la somma di trasformate lo sarà. Perciò se
, allora
e
della forma:
![{\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\chi _{I_{k}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8909f5051c128aef10af7cd07f12075fec35145b)
tale che
quasi ovunque, cioè:
![{\displaystyle \|u-u_{n}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}<\epsilon \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81526f802db1588a4527034e00aee4ce8472cb6e)
Inoltre
tale che
se
, quindi:
![{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )+{\hat {u}}_{n}(\xi )\leq |{\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )|+|{\hat {u}}_{n}(\xi )|\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d479aff16912a85cf415b27a13be7901983d258)
Per
:
![{\displaystyle |{\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )|+|{\hat {u}}_{n}(\xi )|\leq \|{\hat {u}}(\xi )-{\hat {u}}_{n}(\xi )\|_{L^{(}\mathbb {R} ^{n})}+\epsilon \leq 2\epsilon \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540773b106aec5dd1423bd1bab30d244af6e4171)
Riassumendo, per
:
![{\displaystyle |{\hat {u}}(\xi )|<2\epsilon \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18a857fc803cb28836027469a8aae0d3a7b90ee)
Siano
allora
e:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{x\cdot u\}=i\cdot {\frac {d}{d\xi }}{\mathcal {F}}\{u\}(\xi )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9142705cf50e49dc70c66e0f7f3949addc2b4fd)
Più in generale per funzioni in
, se
e:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{x_{j}u(\mathbf {x} )\}=i{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi _{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee1c78b2d3a64ebba6ddb482c941f43508a53d0)
Siano
allora
.
Più in generale se
allora
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial \,u(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\right\}=i\xi _{j}{\mathcal {F}}\{u\}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab041490a4ab4dc94d21b8978e83afcccfe09d4a)
Nota bene: con la trasformata di Fourier l'operatore differenziale diventa una moltiplicazione per una potenza di
, infatti se
allora:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{k}\,u(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}^{k}}}\right\}=(i\xi _{j})^{k}{\mathcal {F}}\{u\}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b519dc0b99dc932ef69e7e99b27dbe85b273958)
Per la dimostrazione di questo teorema citiamo prima un lemma.
Calcoliamo semplicemente la trasformata della derivata della funzione
![{\displaystyle {\hat {u'}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi x}u'(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u'(x)\,dx\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c06f0c7e60959299cca4d88129e918c0f7453c6)
Integriamo per parti:
![{\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-i\xi x}u'(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}i\xi e^{-i\xi x}u(x)\,dx+{\left[e^{-i\xi x}u(x)\right]}_{-\infty }^{+\infty }\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c0fb5af5c5024203a77d6b7e7ab25952a1a214)
Per il lemma:
![{\displaystyle {\left[e^{-i\xi x}u(x)\right]}_{-\infty }^{+\infty }=0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fa541d5b148f57455cbba1b86c1538dd1da23f)
Concludendo:
![{\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}i\xi e^{-i\xi x}u(x)\,dx=i\xi {\hat {u}}(\xi )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca266ad12d0a6192cb03dc08c290c31e196afc8)
|
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Sia
se
tale che
![{\displaystyle G(x)=G(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}g(t)\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57842a318f62efd089a51599a80d385d1556470e)
allora
è assolutamente continua (
).
Invece si dirà assolutamente continua locale (
) se
.
è assolutamente continua infatti si ottiene integrando la funzione
(graficamente è più semplice da vedere).
Invece la funzione
possiede sempre derivata nulla, ma non è l'integrale di 0.
Anche la funzione
.
Di fondamentale importanza per lo studio delle trasformate di Fourier è la conoscenza delle funzioni gaussiane e le loro principali proprietà. Cominciamo prendendo la più semplice
![{\displaystyle u(x)=e^{-x^{2}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b844beea87f7c317864eca61741da57ec6bf87ec)
La prima cosa che si deve osservare è
, perciò calcoliamo il valore dell'integrale fatto su
. Prendiamo la funzione:
![{\displaystyle v(x)=e^{-(x^{2}+y^{2})}=e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c90d10545df205516aa96ac79959b62c71ff7d)
e ne calcoliamo l'integrale su
, portando tutto in coordinate polari:
![{\displaystyle =\int _{[0;2\pi ]\times [0;+\infty ]}e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{+\infty }e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \ =\pi \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f29787f484ada29ec26d24372fe6585ace108b)
Ora, ritornando alla funzione iniziale:
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}v(x)\,dx\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx\int _{\mathbb {R} }e^{-y^{2}}\,dy={\left(\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx\right)}^{2}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b02c175b787e89bb7af6c03878facaa7285141d)
Concludendo:
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97804c8eaf8f9fd042ffdea08ea1b79068f78aa2)
Di facile dimostrazione (applicando un cambio di variabile) anche:
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{-(x+i\,b)^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\qquad b\in \mathbb {R} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d233282839c56174d1ba2282923c5119b91bb8bb)
Ora calcoleremo
sfruttando i calcoli appena fatti:
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }e^{-\left(x^{2}+i\xi \,x\pm {\frac {\xi ^{2}}{4}}\right)}\,dx=\int _{\mathbb {R} }e^{-\left(x+i{\frac {\xi }{2}}\right)^{2}}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{4}}}\,dx={\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{4}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfd019856e878c1d1e5e4343258b68a35fa1198)
Più in generale:
![{\displaystyle e^{-ax^{2}}\to {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{4a}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a18c79d737fa8a7e49f30daad4d1cfbc28b786e)
![{\displaystyle e^{-a\|\mathbf {x} \|^{2}}\to {\left({\frac {\pi }{a}}\right)}^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{2}}{4a}}}\qquad \mathbf {x} ,\,{\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{n}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed510efc6d642195ff36d1b1feb977c7b76e4ae)
La dimostrazione di quest'ultima avviene in modo analogo alla precedente:
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=0}^{n}e^{-i\xi _{j}x_{j}+x_{j}^{2}}\,d\mathbf {x} =\prod _{j=0}^{n}\left(\int _{\mathbb {R} }e^{-i\xi _{j}x_{j}+x_{j}^{2}}\,dx_{j}\right)=\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb8d0007754d49e30063da2f677be2d37727de2)
![{\displaystyle =\prod _{j=0}^{n}{\sqrt {\pi }}e^{\frac {-\xi _{j}^{2}}{4}}={\sqrt {\pi }}^{n}e^{-{\frac {\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{2}}{4}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d324bd54465edcb2e11c77a07c39a5c3fd9c2e)
Siano
, si definisce l'operazione di convoluzione come:
![{\displaystyle (f*g)(\mathbf {x} ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {y} )g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\,d\mathbf {x} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2888f69e65be5f44c59e7756cd1cfc06aa4634b0)
L'operazione di convoluzione è lineare (dalla proprietà degli integrali) ed è commutativa (per sostituzione):
![{\displaystyle ((\alpha f+\beta g)*h)=\alpha (f*h)+\beta (g*h)\qquad \forall f,\,g,\,h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\,\forall \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84231b7cc7e0e65db24222a5b5bad2d277c62000)
![{\displaystyle f*g=g*f\qquad \forall f,\,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54edde245f9eb7a84694ac0b6fee4a5fe921e298)
Ed è anche associativa (per Fubini - Tonelli):
![{\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h)\qquad \forall f,\,g,\,h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5a5b80e5320e8cda753229e5578c6f0a532bab)
Siano
, allora
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|(f*g)(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {y} )g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\,d\mathbf {y} \right|\,d\mathbf {x} \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f(\mathbf {y} )\right|\left|g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right|\,d\mathbf {y} \,d\mathbf {x} =\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3000a5cd7842e6958b77404b88413adaddc2ee41)
per il teorema di Fubini - Tonelli:
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f(\mathbf {y} )\right|\left|g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right|\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {y} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f(\mathbf {y} )\right|\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|g(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right|\,d\mathbf {x} \right)\,d\mathbf {y} =\|f\|_{L^{1}}\|g\|_{L^{1}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3fbabdd8136cc86f1aff573760b32bf435728b)
Quindi:
![{\displaystyle \|f*g\|_{L^{1}}\leq \|f\|_{L^{1}}\|g\|_{L^{1}}<+\infty \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35618395bb714d1d9f4db5617b77024cf2c715ef)
Siano
, allora