Utente:NicolaCorea97/Sandbox

Sviluppo di Sylvester

Consideriamo un semplice sistema di equazioni differenziali lineare ed omogeneo del primo ordine

${\dot {y}}=A(t)y$ con $y\in R^{n}$, $A\in R^{nxn}$

supponiamo inoltre che il sistema sia anche autonomo, ovvero supponiamo che la matrice A del sistema sia costante.

${\dot {y}}=Ay$

Ricordando i risultati circa l'esistenza, l'unicità e regolarità delle soluzioni dei sistemi lineari, possiamo dire che : "Ogni soluzione del sistema è definita su tutta la retta ed è analitica; per ogni punto $\beta \in R^{n}$ passa una ed una sola soluzione".

Ma come sono fatte le soluzioni di tale sistema? Il seguente teorema ci dà una rappresentazione di tali soluzioni

Teorema

Dato un sistema lineare omogeneo di equazioni differenziali ordinarie si ha che:

i) $\forall \beta \in R^{n}$ , il vettore $\phi \in R^{n}$

$\phi (t)=e^{At}\beta$ è soluzione del sistema

ii) Le colonne della matrice esponenziale $e^{At}$ formano una base (sistema fondamentale di soluzioni / integrale generale)

iii) Il sistema lineare omogeneo , accompagnato dall'ulteriore condizione $y(\tau )=\delta$ (Problema di Cauchy) ammette , $\forall \delta \in R^{n}$l'unica soluzione

$\phi (t)=e^{A(t-\tau )}\delta$

La matrice di transizione in questo caso è $e^{A(t-\tau )}$.

La dimostrazione del teorema è banale, basta ricordare le proprietà riguardanti la matrice esponenziale, pertanto lasciata al lettore.

Per determinare in forma chiusa le nostre soluzioni, bisogna calcolare esplicitamente $e^{At}$. Ma ricordiamo un attimo come è definita tale quantità

$e^{At}=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {A^{k}t^{k}}{k!}}$

Quindi, ci si pone ora il problema di determinare l'espressione analitica della matrice senza dover calcolare la serie infinita che la definisce.

Proposizione (Sviluppo di Sylvester)

Detta $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ , la corrispondente matrice esponenziale $e^{At}$ può essere scritta come

$e^{At}=\textstyle \sum _{k=0}^{n-1}\displaystyle \beta _{k}(t)A^{k}=\beta _{0}(t)I+\beta _{1}(t)A+..+\beta _{n-1}A^{n-1}$

dove i coefficienti dello sviluppo sono opportune funzioni scalari del tempo.

La Proposizione non è niente di che , anzi è l'applicazione di due noti risultati dell'Algebra.

Dimostrazione

Ricordiamo che se $f:C^{n}\rightarrow C^{n}$ è una funzione analitica in una regione del piano complesso, in tale regione essa potrà essere sviluppata in serie polinomiale

$f(s)=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }\displaystyle a_{k}s^{k}$

in particolare è possibile estenderla al campo delle matrici quadrate

$f(A)=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }\displaystyle a_{k}A^{k}$

Ricordiamo che esempi di funzioni analitiche sono le funzioni polinomiali, esponenziali.

Detto $P(s)$ , il polinomio caratteristico associato alla matrice $A$ , grazie ad un noto Teorema dell'Algebra

$f(s)=Q(s)P(s)+R(s)$

dove , ricordiamo , $Q(s)$ è il quoziente ed $R(s)$ il resto, con un grado minore o uguale a $n-1$.

Con una scomposizione analoga abbiamo quindi

$f(A)=Q(A)P(A)+R(A)$

ricordando che ogni matrice quadrata è una radice della sua equazione caratteristica (Teorema di Cayley-Hamilton) $(P(A)=0)$ otteniamo

$f(A)=R(A)=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+...+a_{n-1}A^{n-1}$

da cui la proposizione.

Con lo sviluppo di Sylvester notiamo dunque che il problema del determinare la forma analitica della matrice esponenziale viene ricondotto al semplice calcolo dei coefficienti dello sviluppo.