Utente:Meneldur/Sandbox

File:Rugosità superficie tornita 02corretta.png

Superficie tornita: altezza media del profilo $h=R_{a}$

Media $0,0952...$ del profilo:

$\mu =r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {r^{2}-{\frac {f^{2}}{4}}}}-r^{2}\arcsin {\frac {f}{2r}}$

Descrizione analitica del profilo da punto "di valle" a primo picco verso destra ( $0\leq x\leq {\frac {f}{2}}$ ):

$g(x)=r-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

Funzione errore:

$\xi (x)=g(x)-\mu$

Media dei valori assoluti degli errori:

$\left\langle \left|\xi (x)\right|\right\rangle ={\frac {1}{\left({\frac {f}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {f}{2}}\left|\xi (x)\right|\,dx={\frac {2}{f}}\int _{0}^{\frac {f}{2}}\left|g(x)-\mu \right|\,dx={\frac {2}{f}}\left(\int _{0}^{g^{-1}(\mu )}\mu -g(x)\,dx+\int _{g^{-1}(\mu )}^{\frac {f}{2}}g(x)-\mu \,dx\right)$

Parametro $R_{a}$ (media degli scostamenti assoluti)

Sebbene sia possibile trovare una soluzione analitica esatta per il valore teorico del parametro di rugosità $R_{a}$ (media degli scostamenti, in valore assoluto, di ogni punto del profilo dalla linea media del profilo), essa è complessa e quindi di poca utilità. La soluzione è la seguente:

$R_{a}={\frac {2r^{2}}{f}}arcsin{\left({\frac {\lambda }{2r}}\right)}-{\frac {\lambda }{f}}{\sqrt {r^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{4}}}}$

dove il valore $\lambda$ è definito come:

$\lambda =2{\sqrt {\mu \left(2r-\mu \right)}}$

e il valore $\mu$ (altezza media del profilo, calcolata in riferimento al punto più basso di questo) si calcola come:

$\mu =r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {r^{2}-{\frac {f^{2}}{4}}}}-{\frac {r^{2}}{f}}arcsin{\left({\frac {f}{2r}}\right)}$

Esiste tuttavia un'approssimazione empirica, nota ancora una volta come formula di Schmalzl, e talvolta riportata sui manuali di tornitura:

$R_{a}\left(\mu {\mbox{m}}\right)\approx {\frac {1000}{32}}\cdot {\frac {\left[f\left({\mbox{mm}}\right)\right]^{2}}{r\left({\mbox{mm}}\right)}}$

${\frac {d^{j}}{dx^{j}}}\varphi _{2}(x)=(-1)^{j}{\frac {(n+j-1)!}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(x+k)^{n+j}}}$