(minmax di funzioni)
Per trovare i punti di minimo e massimo della funzione
all'interno dell'insieme
, dobbiamo seguire questi passaggi:
- Trovare i punti critici di
all'interno della regione
ponendo le derivate parziali uguali a zero.
- Valutare la funzione sui confini della regione
.
- Confrontare i valori della funzione nei punti critici e sui confini per determinare il minimo e il massimo.
Calcoliamo le derivate parziali di
:
e
Poniamo le derivate parziali uguali a zero per trovare i punti critici:
e
Dalla prima equazione:
Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione:
Questo dà
o
.
Poiché
non è nell'intervallo
, consideriamo solo
:
Quindi, un punto critico è
.
Valutiamo
sui confini della regione
.
- Confine
e
:
![{\displaystyle f(0,y)=-7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf9d8a228efd661da48bcdfa8faea31f01a96f0)
- Confine
e
: ![{\displaystyle f(x,0)=5x^{2}+4\cdot 0^{3}+3x\cdot 0-7=5x^{2}-7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd92d198de650dc6c8bd4a218c16a6b813f6419a)
- Confine
e
: ![{\displaystyle f(x,x)=5x^{2}+4x^{3}+3x\cdot x-7=5x^{2}+4x^{3}+3x^{2}-7=8x^{2}+4x^{3}-7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5088e57ab7178aff60cf21c52d4e690fad37994d)
Valutiamo
nei punti critici e sui confini:
- Valutiamo in
:
- Valutiamo in
:
- Valutiamo in
:
Confrontando questi valori, il valore minimo è
e il valore massimo è
.
- Punto di minimo:
![{\displaystyle (0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a)
- Punto di massimo:
![{\displaystyle (1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23)
- Teorema di Fermat: Se
ha un massimo o un minimo locale in un punto interno del dominio e la derivata parziale esiste in quel punto, allora le derivate parziali della funzione in quel punto sono nulle.
- Teorema dei Massimi e Minimi: Su un insieme chiuso e limitato, una funzione continua assume sia un massimo che un minimo.
Questi teoremi ci aiutano a trovare i punti critici e a confrontare i valori della funzione sui confini per determinare i punti di minimo e massimo all'interno dell'insieme dato.