Utente:Mark16/Sandbox 1

Congettura di Collatz

Funzione descriita come:

$f(n)=\left\{{\begin{matrix}n/2,&{\mbox{se }}n{\mbox{ è pari}}\\3n+1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ è dispari}}\end{matrix}}\right.$

2^m

Se $n=2^{m}$ allora

$f(2^{m})=2^{m-1}$

$f_{2}(2^{m})=f(f(2^{m}))=2^{m-2}$

$f_{3}(2^{m})=f(f(f(2^{m}))=2^{m-3}$

$\cdots$

$f_{k}(2^{m})=2^{m-k}$

Il massimo valore di $k$ è $m$

$\lim _{k\to m}f_{k}(2^{m})=2^{m-k}\longrightarrow f_{m}(2^{m})=1$

i numeri della forma $n=2^{m}$ dopo $m$ passi producono il valore $1$.

2m+1

Se $n=2m+1$ otteniamo i primi 2 passi

$f(2m+1)=6m+4$

$f(6m+4)=3m+2$

E' possibile che $3m+2=2^{k}$ ? Perchè se così fosse potremmo sapere dei numeri che ad un certo punto arrivano a $2^{m}$e sappiamo che questi numeri vannoa a $1$

Svolgiamo e otteniamo:

$m={\frac {2}{3}}(2^{k-1}-1)$ e sostituendolo $n={\frac {1}{3}}(2^{k+1}-1)$

Specifichiamo $k=2q-1$ per far sì che $n$ sia intero e otteniamo $n={\frac {1}{3}}(4^{q}-1)$.