Utente:Kimahri88/Sandbox3

Il primo triangolo di Morley, evidenziato in viola, è definito dai punti di intersezione delle trisettrici adiacenti degli angoli del triangolo esterno.

In geometria piana, il teorema di Morley afferma che in un triangolo qualsiasi, i tre punti di intersezione delle trisettrici adiacenti ad ogni lato formano un triangolo equilatero, denominato primo triangolo di Morley o semplicemente triangolo di Morley. Il teorema prende il suo nome dal matematico anglo-americano Frank Morley, che lo definì nel 1899.

Dimostrazione

Costruzione per una dimostrazione elementare del teorema di Morley.

Numerose dimostrazioni del teorema di Morley sono state proposte nel secolo scorso: alcune di esse richiedono nozioni avanzate di trigonometria. E' possibile dimostrare il teorema con considerazioni geometriche sulla similitudine dei triangoli, nella maniera seguente.

Sia $ABC$ un triangolo qualsiasi, i cui angoli siano suddivisi in tre parti uguali attraverso trisezione. Per semplicità, le terze parti degli angoli di $ABC$ vengano denominate $\alpha ,\beta ,\gamma$. Il triangolo di Morley $XYZ$ viene quindi costruito intersecando le trisettrici adiacenti.
Sul lato $BC$ si determinano i punti $D,E,F$ nella maniera seguente: il punto $D$ si ottiene tracciando la perpendicolare a $BC$ passante per $X$, mentre i punti $E$ e $F$ si ottengono ruotando le trisettrici $BX$ e $CX$ di sessanta gradi attorno a $X$.

Tenendo in considerazione che $\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$, si può osservare che:

${\widehat {BXC}}=180^{\circ }\,-(\beta +\gamma )=180^{\circ }\,-(60^{\circ }-\alpha )=120^{\circ }+\alpha$

${\widehat {EXF}}={\widehat {BXC}}-120^{\circ }=\alpha$

${\widehat {XEF}}=60^{\circ }+\beta$

${\widehat {EFX}}=60^{\circ }+\gamma$

Considerando il triangolo $XED$ si osserva che, per il teorema dei seni:

$\operatorname {sen} {\widehat {XEF}}=\operatorname {sen} \left(60^{\circ }+\beta \right)={\frac {DX}{EX}}$

Considerando il triangolo $AYC$, sempre per il teorema dei seni si può istituire la seguente uguaglianza:

${\frac {AC}{\operatorname {sen} \left(120^{\circ }+\beta \right)}}={\frac {AY}{\operatorname {sen} \gamma }}$

Nel seguito della dimostrazione si farà uso della seguente identità trigonometrica, che esprime il seno di un angolo in funzione della sua terza parte:

$\operatorname {sen} 3\theta =4\operatorname {sen} \theta \,\operatorname {sen} \left(60^{\circ }+\theta \right)\,\operatorname {sen} \left(120^{\circ }+\theta \right)$

Proprietà del triangolo di Morley

Il triangolo di Morley ha lati di lunghezza pari a:

$a'=b'=c'=l=8R\,\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{3}}\,\operatorname {sen} {\frac {\beta }{3}}\,\operatorname {sen} {\frac {\gamma }{3}}$

dove $R$ è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo originale e $\alpha ,\beta ,\gamma$ sono i tre angoli interni del triangolo originale. Essendo il triangolo di Morley equilatero, la sua area può essere ottenuta come:

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}\,l^{2}=16{\sqrt {3}}\,R^{2}\,\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\alpha }{3}}\,\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\beta }{3}}\,\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\gamma }{3}}$