Utente:Disintegrator/Sandbox2

erone: $\mathrm {S} ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}\,$

newton: $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

funzioni inverse: $D(f)D(f^{-1})=1\!$

Algebra

Scomposizione, prodotti notevoli e simili

[insert brain here]

Equazioni di primo grado

$ax+b=0\!$ $a\neq 0\quad a>0\!$

$x=-{\frac {b}{a}}$

Dimostrazione formula risolutiva per equazioni di 2° grado

$ax^{2}+bx+c=0\!$ $a\neq 0\quad a>0\!$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad formula\ risolutiva$

${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=0\\\ 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\\\ 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac+b^{2}=b^{2}\\\ 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}={\begin{matrix}\underbrace {b^{2}-4ac} \\\Delta \end{matrix}}\\\ (2ax+b)^{2}=\Delta \\\ (2ax+b)^{2}=\Delta \Rightarrow {\begin{matrix}{\mbox{se }}\Delta =0&(2ax+b)\Rightarrow &{\mbox{2 soluzioni conincidenti}}\\{\mbox{se }}\Delta <0&(2ax+b)^{2}\Rightarrow &{\mbox{impossibile}}\\{\mbox{se }}\Delta >0&(2ax+b)^{2}\Rightarrow &{\begin{matrix}(2ax+b)^{2}=\Delta \\\ {\sqrt {(2ax+b)^{2}}}=\pm {\sqrt {\Delta }}\\\ 2ax=-b\pm {\sqrt {\Delta }}\\\ {\frac {2ax}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\\ x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{matrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

Dimostrazione "somma" e "prodotto"

$ax^{2}+bx+c=0\!$ $a\neq 0\quad a>0\!$

Somma

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

Prodotto

$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)={\frac {b^{2}-\Delta }{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$

Dimostrazione scomposizione di un trinomio

$ax^{2}+bx+c\!$ $a\neq 0\quad a>0\!$

$ax^{2}+bx+c\Rightarrow {\begin{matrix}{\mbox{se }}\Delta \geq 0\Rightarrow &{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=\\\ =a(x-x_{1})(x-x_{2})=\\\ =a(x^{2}+xx_{2}-xx_{1}+x_{1}x_{2})=\\\ =a(x^{2}-x(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2})=\\\ =a(x^{2}-x(-{\frac {b}{a}})+{\frac {c}{a}})=ax^{2}+bx+c\end{matrix}}\\\ {\mbox{se }}\Delta =0\Rightarrow &{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1,2})^{2}\end{matrix}}\\\ {\mbox{se }}\Delta <0\Rightarrow &{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=impossibile\end{matrix}}\end{matrix}}$

Segno di trinomio

Tabella casi di segno di trinomio

	Δ>0	Δ=0	Δ<0
>0	x<x1 U x>x2	∀x∈ℝ, x≠x1 o 2	∀x∈ℝ
≥0	x<x1 U x>x2	∀x∈ℝ	∀x∈ℝ
<0	x1<x<x2	mai verificata	mai verificata
≤0	x1<x<x2	x=x1 o 2	mai verificata

Dimostrazioni segno di trinomio

$ax^{2}+bx+c\!$ $a\neq 0\quad a>0\!$

$ax^{2}+bx+c\Rightarrow {\begin{matrix}{\mbox{se }}\Delta >0\Rightarrow &{\begin{matrix}{\begin{matrix}\underbrace {a} \\+\end{matrix}}x^{2}+bx+c{\begin{matrix}\underbrace {>} \\+\end{matrix}}0&\Rightarrow S.esterne\\{\begin{matrix}\underbrace {a} \\+\end{matrix}}x^{2}+bx+c{\begin{matrix}\underbrace {<} \\-\end{matrix}}0&\Rightarrow S.interne\end{matrix}}\\{\mbox{se }}\Delta =0\Rightarrow &{\begin{matrix}{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c>0\\a=(x-x_{1,2})^{2}\end{matrix}}&\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R} ,x\neq x_{1,2}\\{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c\geq 0\\a=(x-x_{1,2})^{2}\end{matrix}}&\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R} \\{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c<0\\a=(x-x_{1,2})^{2}\end{matrix}}&\Rightarrow mai\ verificata\\{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c\leq 0\\a=(x-x_{1,2})^{2}\end{matrix}}&\Rightarrow x=x_{1,2}\end{matrix}}\\{\mbox{se }}\Delta <0\Rightarrow &{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c\\\ a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\\ a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\\\ a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]\\a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\Delta }{4a^{2}}}\right]>0\end{matrix}}\Rightarrow &{\begin{matrix}ax^{2}+bx+c\geq 0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R} \\ax^{2}+bx+c\leq 0\Rightarrow mai\ verificata\end{matrix}}\end{matrix}}$

Metodi risolutivi per equazioni di grado superiore al 2°

Equazioni binomie

$x^{n}=a\ \!$

$x^{n}=a\Rightarrow {\begin{matrix}{\mbox{se }}n{\mbox{ pari}}\Rightarrow &{\begin{matrix}a>0&x=\pm {\sqrt[{n}]{a}}\\\ a<0&{\mbox{impossibile}}\end{matrix}}\\\ {\mbox{se }}n{\mbox{ dispari}}\Rightarrow &{\begin{matrix}x={\sqrt[{n}]{a}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

Equazioni trinomie

$ax^{2n}+bx^{n}+c=0\!$

${\begin{matrix}ax^{2n}+bx^{n}+c=0\\\ {\mbox{Sostituzione }}y=x^{n}\\\ \Rightarrow &ay^{2}+by+c=0\\\ y_{1,2}\Rightarrow &{\begin{matrix}x_{1}^{n}=y_{1}\\\ x_{2}^{n}=y_{2}\end{matrix}}\\\ y_{1}\quad y_{2}\Rightarrow &{\begin{matrix}x=\pm {\sqrt[{n}]{y_{1}}}\\\ x=\pm {\sqrt[{n}]{y_{2}}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

Equazioni di 3° grado

$x^{3}+px+q=0\!$

Formula di Cardano-Tartaglia

$x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}}}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$

Equazioni e disequazioni irrazionali

[insert brain here]

Geometria analitica

Rette

$y=mx+q\qquad ay+by+c=0$

Coniche

Parabola

La parabola è il luogo geometrico i cui punti sono equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice.

$y=ax^{2}+bx+c\!$

Circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico i cui punti sono equidistanti da un punto detto centro; la distanza è il raggio.

$x^{2}+y^{2}+ax+bx+c=0\qquad (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$

Ellisse

La somma delle distanze tra un punto qualsiasi, appartenente al luogo geometrico chiamato ellisse, e i fuochi è costante.

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Iperbole

La differenza delle distanze tra un punto qualsiasi, appartenente al luogo geometrico chiamato iperbole, e i fuochi è costante.

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\pm 1$

Goniometria e trigonometria

$\sin x\quad \cos x\quad \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\quad \operatorname {cotg} x={\frac {\cos x}{\sin x}}\quad \csc x={\frac {1}{\sin x}}\quad \sec x={\frac {1}{\cos x}}$

$\alpha =\arcsin x=\arccos x=\arctan x\!$


$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\!$

Logaritmi ed esponenziali

$\log _{a}x=b\Rightarrow a^{b}=x$

Numeri immaginari e complessi

${\sqrt {-1}}=i$

Calcolo combinatorio e probabilità

Calcolo combinatorio

$P_{n}=n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n$

$P_{n}^{\alpha ,\beta ,\ldots }={\frac {n!}{\alpha !\cdot \beta !\cdot \ldots }}$

$D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)$; $k<n$

$D_{n,k}^{(r)}=n^{k}$

$P_{n,k}={\frac {D_{n,k}}{P_{k}}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}}\cdot {\frac {(n-k)!}{(n-k)!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Probabilità

Definizione; Bayes...?

Prove ripetute di Bernoulli

$p(E)=p\qquad p({\overline {E}})=1-p=q$
Se su n tentativi k hanno successo, allora la probabilità di questi utlimi è uguale a:
$P_{k}={n \choose k}p^{k}\cdot q^{n-k}\qquad 0\leq k\leq n$

Analisi infinitesimale

Limiti

Definizioni

• Limite finito per x che tende ad un valore finito

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\quad \forall \varepsilon >0\,\exists \,\mathrm {I} _{x_{0}}:\forall x\in \mathrm {I} _{x_{0}},\,x\not =x_{0}\quad |f(x)-l|<\varepsilon$

• Limite infinito per x che tende ad valore finito (asintoto verticale)

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty \quad \forall M>0\,\exists \,\mathrm {I} _{x_{0}}:\forall x\in \mathrm {I} _{x_{0}},\,x\not =x_{0}\quad |f(x)|>M$

• Limite finito per x che tende ad infinito (asintoto orizzontale)

$\lim _{x\to \infty }f(x)=l\quad \forall \varepsilon >0\,\exists \,\mathrm {I} _{\infty }:\forall x\in \mathrm {I} _{\infty }\quad |f(x)-l|<\varepsilon$

• Limite infinito per x che tende ad infinito

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \quad \forall M>0\,\exists \,\mathrm {I} _{\infty }:\forall x\in \mathrm {I} _{\infty }\quad |f(x)|>M$

Teoremi dei limiti

• Unicità del limite

Un limite, se esiste, è unico dato il fatto che il limite è un operatore.

• Permanenza del segno

Data una funzione contiua $f(x)$ e il limite per $x$ che tende ad $x_{0}$, l'intorno di questo punto avrà lo stesso segno del limite.

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$

${\begin{matrix}se\;l>0&\Rightarrow \exists \,\mathrm {I} _{x_{0}}>0\\se\;l=0&teorema\,non\,valido\\se\;l<0&\Rightarrow \exists \,\mathrm {I} _{x_{0}}<0\end{matrix}}$

• Teorema del confronto

Date tre funzioni $f(x),\,g(x),\,h(x)$ tali che valgono le seguenti relazioni:

$f(x)<g(x)<h(x)\!$  e  $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l$

allora:

$\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l$

Operazioni con i limiti

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\pm \lim _{x\to x_{0}}g(x)$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)$ (vale la regola anche per un quoziente di funzioni)

Limiti notevoli

$\lim _{x\to 0}{\frac {sinx}{x}}=1$ (se x è un angolo in radianti, altrimenti il risultato sarebbe ${\frac {\pi }{180}}$)

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-cosx}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-cosx}{x}}\cdot {\frac {1+cosx}{1+cosx}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-cos^{2}x}{x\cdot (1+cosx)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {sinx\cdot sinx}{x\cdot (1+cosx)}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-cosx}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-cosx}{x^{2}}}\cdot {\frac {1+cosx}{1+cosx}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-cos^{2}x}{x^{2}\cdot (1+cosx)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {sinx\cdot sinx}{x\cdot x\cdot (1+cosx)}}={\frac {1}{2}}$

---

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}\left(1+x\right)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left(1+x\right)=\lim _{x\to 0}\log _{a}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=\log _{a}e$

$\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\lim _{t\to 0}{\frac {t}{\log _{a}\left(t+1\right)}}={\frac {1}{log_{a}e}}=\ln a$

Forme d'indecisione

${\frac {\infty }{\infty }}\quad {\frac {0}{0}}\quad \infty \cdot 0\quad +\infty -\infty \quad 1^{\infty }\quad 0^{0}\quad \infty ^{0}$

Come risolverle

>vuoto pneumatico<

Continuità

Definizione

Una funzione per essere continua deve rispettare le seguenti condizioni:

• $\exists f(a)\!$
• $\exists \lim _{x\to a}f(x)$
• $f(a)=\lim _{x\to a}f(x)$

Le funzioni algebriche intere sono continue in tutto ℝ, quelle razionali pure eccetto negli zeri del denominatore e infine quelle irrazionali sono continue nel loro dominio. I logaritmi sono continui nel loro dominio, le esponenziali in tutto ℝ; le funzioni trascendenti rimanenti, quelle goniometriche, sono seno (continuo in tutto ℝ), coseno (continuo in tutto ℝ), tangente (continua in tutto ℝ tranne che nei punti ${\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {N}$) e cotangente (continua in tutto ℝ tranne che nei punti $0+k\pi ,\,k\in \mathbb {N}$).

Teoremi delle funzioni continue

• Permanenza del segno
• Esistenza degli zeri
• Teorema di Bolzano
• Teorema di Weierstrass

Punti di discontinuità

I punti di discontinuità di una funzione $f(x)$ possono essere di tre specie:

• Terza specie (nota anche come eliminabile)

$\not \exists f(a)$ (la funzione nel punto a non esiste),  $\exists \lim _{x\to a}f(x)$ (il limite della funzione per x che tende ad a esiste ed ha un valore finito); oppure
$\exists f(a)$ (la funzione nel punto a esiste ed ha un valore finito),  $\exists \lim _{x\to a}f(x)$ (il limite delle funzione per x che tende ad a esiste ed ha un valore finito),  $f(a)\not =\lim _{x\to a}f(x)$ (ma i due sono diversi)
In questo caso la funzione si può prolungare con continuità nel punto a dando priorità al limite e imponendo la funzione uguale al valore ottenuto calcolandolo.

• Prima specie

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\not =\lim _{x\to a^{-}}f(x)$ In questo caso il limite destro e sinistro esistono ed hanno valori finiti, ma sono diversi, questo significa che la funzione compie un salto nel punto a.

• Seconda specie

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ oppure $\not \exists \lim _{x\to a}f(x)$

Derivate

Definizione

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Regole di derivazione

$D\left(a\cdot f(x)\pm b\cdot g(x)\right)=a\cdot f'(x)\pm b\cdot g'(x)\qquad a,b\in \mathbb {R}$; linearità dell'operatore derivata

$D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$; formula di Leibniz

$D\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$; quoziente di funzioni

$D\left(f(g(x))\right)=f'(g(x))\cdot g'(x)$; funzioni composte

---

$y=k\qquad y'=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=0$

---

$y=x\qquad y'=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{x}}=1$

---

$y=x^{n}\qquad y'=nx^{n-1}$
Dimostrazioni:

$\forall x\in \mathbb {N}$
$y'=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+nx^{n-1}h+\cdots +h^{n}-x^{n}}{h}}=$
$=\lim _{h\to 0}{\frac {nx^{n-1}h}{h}}+\cdots +{\frac {h^{n}}{h}}=nx^{n-1}$
q.e.d.

$\forall x\in \mathbb {R}$
$y=e^{n\ln x}\qquad y'={\frac {n\cdot e^{\ln x^{n}}}{x}}={\frac {nx^{n}}{x}}=nx^{n-1}$
q.e.d.

---

$y=|x|\qquad y'={\frac {x}{|x|}}$

---

$y={\sqrt[{n}]{x^{m}}}\qquad y'={\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}$

---

$y=\log _{a}{x}\qquad y'={\frac {\log _{a}{e}}{x}}$

Dimostrazione:
$y'=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}({x+h})-\log _{a}{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\cdot \log _{a}\left({\frac {x+h}{x}}\right)=$
$={\frac {1}{x}}\cdot \lim _{h\to 0}\log _{a}\left({1+h}\right)^{\frac {1}{h}}={\frac {log_{a}{e}}{x}}$
q.e.d.

---

aaahh...

Teoremi sulle funzioni derivabili

• Teorema di Fermat

• Teorema di Rolle

• Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Considerando una funzione continua $f(x)$ in un intervallo chiuso $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$, allora esiste almeno un punto $x=c\in (a,b)$ tale che:
$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}$

• Teorema di Cauchy (o degli incrementi finiti)

Considerando due funzioni continue $f(x)$ e $g(x)$ in un intervallo chiuso $[a,b]$, entrambe derivabili in $(a,b)$, se $g(a)\not =g(b)$ e $g'(x)\not =0\forall x\in (a,b)$, allora esiste almeno un punto $x=c\in (a,b)$ tale che:
${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {\Delta f}{\Delta g}}$

Differenziale di una funzione

$df=f'(x_{0})h\,\approx \Delta f=f(x_{0}+h)-f(x_{0})$

Integrali

Integrali indefiniti

Definizione

Data una funzione $f(x)$, sia $F'(x)=f(x)$ allora:
$\int {f(x)dx}=F(x)+C$
dove $F(x)+C$ è l'insieme delle primitive di $f(x)$ e $C$ è una costante additiva.

Proprietà dell'operatore integrale

Essendo l'integrale l'operatore inverso della derivata, anch'esso gode della linearità:
$\int {\left(a\cdot f(x)\pm b\cdot g(x)\right)dx}=a\int {f(x)dx}\pm b\int {g(x)dx}\qquad a,b\in \mathbb {R}$

Integrali immediati

$\int {x^{n}dx}={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\quad x\not =-1$; forma generalizzata: $\int {\left[f(x)\right]^{n}f'(x)dx}={\frac {\left[f(x)\right]^{n+1}}{n+1}}\quad x\not =-1$

$\int {{\frac {1}{x}}dx}=\ln |x|+C$; forma generalizzata: $\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx}=\ln |f(x)|+C$

$\int {e^{x}dx}=e^{x}+C$

$\int {\sin xdx}=-\cos x+C$

$\int {\cos xdx}=\sin x+C$

$\int {{\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx}=\tan x+C$

$\int {{\frac {1}{\sin ^{2}x}}dx}=-\operatorname {cotg} x+C$

$\int {{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx}=\arcsin x+C$

$\int {{\frac {1}{1+x^{2}}}dx}=\arctan x+C$