Utente:Ceskino/Sandbox

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In geometria euclidea si chiama tangente ad circonferenza una retta che tocca in un solo punto. È possibile dimostrare che preso un punto non esistono tangenti se è interno a , vi è esattamente una tangente se è un punto di e vi sono esattamente due tangenti distinte se è esterno a .

Costruzione tangenti da un punto esterno[modifica | modifica wikitesto]

Dato un punto esterno alla circonferenza è possibile costruire le tangenti a tale circonferenza per (e quindi dimostrare l'esistenza di tali rette tangenti).

Metodo di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

Euclide propone una costruzione di tali tangenti negli Elementi (Libro III - Proposizione 17).

Dal centro della circonferenza si tracci il segmento e si disegni la circonferenza di centro e raggio .

Sia uno dei due punti di intersezione tra e (scegliamo ad esempio quello tra ed ).

Da tale punto si tracci la perpendicolare a e sia uno dei due punti di intersezione di tale perpendicolare con la circonferenza .

Si tracci e si indichi con il punto di intersezione tra e .

La retta è una delle due tangenti a per il punto esterno .


Elementi di Euclide - Libro III - Proposizione 17 (costruzione delle tangenti ad una circonferenza da un punto esterno ad essa)


Infatti, poiché entrambi raggi di ed poiché entrambi raggi di .

I triangoli e sono uguali poiché hanno due lati e l'angolo compreso tra questi uguali.

Quindi, in particolare l'angolo è retto.

Per la proposizione degli Elementi 3.16, una retta che formi un angolo retto con un diametro (in questo caso con ) è tangente alla circonferenza. Da cui la tangenza di a .


L'altra tangente si costruisce scegliendo l'altro dei due punti di intersezione della perpendicolare a con la circonferenza .

Metodo alternativo[modifica | modifica wikitesto]

Si congiunga P con il centro della circonferenza e si tracci il punto medio del segmento .

Si disegni la circonferenza di centro M e raggio e si indichino con e i punti di intersezione di tale circonferenza con .

Le rette e sono le tangenti alla circonferenza condotte dal punto .


Costruzione delle tangenti ad una circonferenza da un punto esterno ad essa


Infatti, i due triangoli e sono rettangoli in e rispettivamente poiché inscritti in semicirconferenze; quindi e sono le tangenti alla circonferenza condotte da poiché perpendicolare ai raggi rispettivamente.