Utente:Baroc/Sandbox2

In statistica Bayesiana, la distribuzione a priori di Jeffreys, è una distribuzione a priori non-informativa sullo spazio dei parametri, proporzionale al determinante dell'informazione di Fisher.

$p({\vec {\theta }})\propto {\sqrt {\det {\mathcal {I}}({\vec {\theta }})}}$

Il suo utilizzo è dovuto alla proprieta di essere invariante per riparametrizzazioni del vettore ${\vec {\theta }}$.

Prende il nome dallo statistico britannico Harold Jeffreys.

Esempi

Distribuzione gaussiana con varianza nota

Per una distribuzione gaussiana con varianza $\sigma$ nota,

$f(x|\mu )={\frac {e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}$

la prior di Jeffrey per $/mu$ è

${\begin{aligned}p(\mu )&\propto {\sqrt {I(\mu )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\mu }}\log f(x|\mu )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\mu )\left({\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}}\propto 1.\end{aligned}}$.

In questo caso la prior di Jeffrey non dipende da $/mu$, e non è nemmeno una distribuzione: si tratta di una prior impropria.

[[Categoria:Statistica bayesiana]]