Utente:AlfaOmega08/Sandbox5

Es 1

$f\left({\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}x\\-x+2y+2t\\-3x+3y+3z+6t\\x-y-t\end{pmatrix}}$

La matrice associata è: $A={\begin{bmatrix}1&&0&&0&&0\\-1&&2&&0&&2\\-3&&3&&3&&6\\1&&-1&&0&&-1\end{bmatrix}}$ $|A|=0\Rightarrow \rho (A)<4$

${\begin{vmatrix}1&&0&&0\\-1&&2&&0\\-3&&3&&3\end{vmatrix}}\neq 0\Rightarrow \rho (A)=3$

Trovare $\ker(f)$ e $Im(f)$

$\rho (A)=3\Rightarrow Dim(Im(f))=3,Dim(Im(f))=4-3=1$

$Im(f)=<{\begin{vmatrix}1\\-1\\-3\\1\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}0\\2\\3\\-1\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}0\\0\\3\\0\end{vmatrix}}>Il<math>\ker(f)$ è lo spazio dei vettori che risolvono il sistema:

${\begin{cases}x=0\\-x+2y+2t=0\\-3x+3y+3z+6t=0\\t=a\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x=0\\y=-a\\z=-a\\t=a\end{cases}}$

$\ker(f)=<{\begin{vmatrix}0\\-1\\-1\\1\end{vmatrix}}>$

Unione ed intersezione

${\mathcal {U}}:\{(x,y,z,t):5x-y+z+t=0\}$ Quindi ${\mathcal {U}}=<{\begin{vmatrix}a\\b\\-5a+b-c\\c\end{vmatrix}}>\Rightarrow {\mathcal {U}}=<{\begin{vmatrix}1\\0\\-5\\0\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}0\\1\\1\\0\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}0\\0\\-1\\1\end{vmatrix}}>$

Trovare $Im(f)+{\mathcal {U}}$ e $Im(f)\cap {\mathcal {U}}$: bho?

Controimmagine

$f^{-1}\left({\begin{pmatrix}0\\h\\1\\2\end{pmatrix}}\right)$ Il vettore appartiene all'immagine se messo in matrice con $Im(f)$ da un determinante uguale a 0. Quindi poniamo: ${\begin{vmatrix}1&&0&&0&&0\\-1&&2&&0&&h\\-3&&3&&3&&1\\1&&-1&&0&&2\end{vmatrix}}=3h+12=0\Rightarrow h=-4$

Quindi:

$h\neq -4\Rightarrow f^{-1}(v)=O$ Se invece h = 4, risolvere il sistema:

${\begin{cases}x=0\\-x+2y+2t=-4\\-3x+3y+3z+6t=1\\t=a\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x=0\\y=-a-2\\z=-{\frac {a+1}{3}}\\t=a\end{cases}}$

Quindi: $f^{-1}(v)=\{{\begin{pmatrix}0\\-a-2\\-{\frac {a+1}{3}}\\a\end{pmatrix}}\forall a\in \mathbb {R} \}$