Utente:AlfaOmega08/Sandbox3

Capitolo 2

Spostamento

Differenza tra posizione finale e iniziale (vettore): $\Delta x\equiv x_{f}-x_{i}$

Un oggetto che si muove da un punto x₀ a un punto x₁ e torna indietro, compie uno spostamento nullo (x_f = x_i), ma percorre una distanza pari a 2(x_f - x_i)

Velocità

Velocità media: rapporto tra spostamento e tempo necessario a compiere lo spostamento stesso (vettore): ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ Il valore della velocità media è anche la tangente dell'angolo del segmento che unisce i punti iniziale e finale della linea dello spostamento.

Un oggetto che si comporta come nell'esempio precedente ha velocità nulla, dato che $\Delta x$ è nullo. Per questo viene più usata la:

Velocità scalare media: rapporto tra distanza percorsa e tempo necessario a percorrerla (scalare): ${\frac {d}{\Delta t}}$

Velocità istantanea: parlare di velocità in un istante non ha molto senso dato che una foto di una macchina, riporterà la macchina ferma, anche se quella stava correndo a 3000 km/h, dato che la foto congela il tempo. Se però consideriamo un istante come un arco di tempo molto breve otteniamo, possiamo calcolare la velocità istantanea come il rapporto tra lo spazio percorso in un tempo estremamente breve, ed il tempo stesso:

$v_{i}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Quest'ultima espressione in analisi matematica si chiama rapporto incrementale. Questo vuol dire che:

$v_{i}={\frac {dx}{dt}}$

Ossia che la velocità istantanea è la derivata della x rispetto alla t (in analisi è molto più frequente la derivata della y rispetto alla x). Questo vuol dire che se si è a conoscenza della funzione che descrive l'andamento dello spostamento, la velocità istantanea sarà data dal valore che assume la derivata nello scelto istante t.

Particolarità

Se la velocità è costante: $x_{f}=x_{1}+v\Delta t$

Accelerazione

Per accelerazione si intende la variazione di velocità in un arco di tempo: $a\equiv {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Per analogia con la velocità, l'accelerazione istantanea è difinita come la variazione di velocità in un tempo molto piccolo ossia:

$a={\frac {dv}{dt}}$

Ma $v={\frac {dx}{dt}}$, quindi:

$a={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

Questo vuol dire che l'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo. Questo si capisce dal fatto che la velocità è la derivata prima dello spostamento, e l'accelerazione la derivata della velocità.

Particolarità

Quando l'accelerazione è costante nascono molte particolari possibilità:

Dall'equazione $a={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$, posto t_i = 0 e t_f = t (istante generico) abbiamo che: $a={\frac {v_{f}-v_{i}}{t}}$, da cui:

$v_{f}=v_{i}+at$

In questo modo possiamo calcolare la velocità in un dato istante, conoscendo quella iniziale e l'accelerazione. Inoltre solo in queste condizioni è possibile calcolare la velocità media come media di velocità iniziale e finale:

$v_{media}={\frac {v_{i}+v_{f}}{2}}$