Utente:.mau./Sandbox2

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica y'=f(x,y), dove la y è lineare. Vediamo alcuni casi semplici, via via più complessi, che ci porteranno alla soluzione generale.

y'=f(x)

In questo caso la soluzione si trova immediatamente tramite integrazione, infatti

y=F(x)+c,

dove F(x) è una primitiva di f(x).

y'=Ky

La soluzione generale di questo caso è ovvia, ossia

$y=ce^{Kx}$

Se invece di una costante K consideriamo una funzione f(x), e dunque l'equazione

$y'=f(x)y$

poichè

$\left(e^{F(x)}\right)'=f(x)e^{F(x)}$

dove f è la derivata di F, allora la soluzione dell'equazione è

$y=ce^{\int f}$

Esempio

Consideriamo

$y'=\operatorname {log} (x)y$

poichè

$\int \operatorname {log} (x)dx=x\operatorname {log} (x)-x$

la soluzione risulta essere

$y=ce^{x\operatorname {log} (x)-x}$

cioè

$y=c{\frac {\left(e^{\operatorname {log} (x)}\right)^{x}}{e^{x}}}$

semplificando otteniamo

$y=c{\frac {x^{x}}{e^{x}}}=cx^{x}e^{-x}$

y'=Ay+f(x)

In questo caso cercheremo delle funzioni del tipo

$y=u(x)v(x)$

visto che la loro derivata ha la forma

$y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Per risolvere il caso generale, chiamiamo v(x) la soluzione del caso precedente, $y'=Ay$, e quindi $v=ce^{Ax}$. Sostituendo otteniamo

$y=u(ce^{Ax})$

Derivando si ha

$y'=u'(ce^{Ax})+Ace^{Ax}u$

Sostituendo allora y e y' nell'equazione originaria otteniamo

$u'(ce^{Ax})+Ace^{Ax}u=Au(ce^{Ax})+f(x)$

Semplificando si ha

$u'=f(x)ce^{-Ax}$

che è il caso più semplice: integrando direttamente si ottiene infatti

$u=c\int f(x)e^{-Ax}$

La soluzione generale è dunque

$y=e^{Ax}\left(\int f(x)e^{-Ax}+c\right)$

Esempio

Supponiamo di avere la seguente equazione differenziale

$ay'=x-y$

Portandola in forma canonica otteniamo

$y'={\frac {x}{a}}-{\frac {1}{a}}y$

la v è dunque

$v=ce^{-{\frac {x}{a}}}$

per la u otteniamo facilmente

$u={\frac {c_{1}}{a}}\int xe^{\frac {x}{a}}$

integrando per parti si ottiene

$u=c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]$

e dunque

$y=ce^{-{\frac {x}{a}}}c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]$

semplificando si arriva a

$y=x-a+{\frac {c_{2}}{a}}e^{-{\frac {x}{a}}}$

Generalizzazione

Se invece di una costante A, avessimo avuto nel caso precedente una funzione g(x), ossia

$y'=gy+f$

ripercorrendo la stessa dimostrazione, otteniamo

$y=e^{\int g}\left(\int fe^{-\int g}+c\right)$

Questa è la soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine.