Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica y'=f(x,y), dove la y è lineare. Vediamo alcuni casi semplici, via via più complessi, che ci porteranno alla soluzione generale.
In questo caso la soluzione si trova immediatamente tramite integrazione, infatti
- y=F(x)+c,
dove F(x) è una primitiva di f(x).
La soluzione generale di questo caso è ovvia, ossia
![{\displaystyle y=ce^{Kx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2da7b4c7adbb10d04a2b05e9fa2e1dad8a60cfc)
Se invece di una costante K consideriamo una funzione f(x), e dunque l'equazione
![{\displaystyle y'=f(x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60dca234b1cc2eae07357392eaddb5d3baaa268)
poichè
![{\displaystyle \left(e^{F(x)}\right)'=f(x)e^{F(x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562a1cd2039064b79d16c3792d809a9dc03ab5cd)
dove f è la derivata di F, allora la soluzione dell'equazione è
![{\displaystyle y=ce^{\int f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9d065863a6065881fc1951168906e1fe133ce0)
Esempio
Consideriamo
![{\displaystyle y'=\operatorname {log} (x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068d5e72ea62b37113567437095e600700c88d7d)
poichè
![{\displaystyle \int \operatorname {log} (x)dx=x\operatorname {log} (x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091d0050c340ba73143c4d7870c9259c5a62774c)
la soluzione risulta essere
![{\displaystyle y=ce^{x\operatorname {log} (x)-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287b61754902192284da4c2229634080e38a28d7)
cioè
![{\displaystyle y=c{\frac {\left(e^{\operatorname {log} (x)}\right)^{x}}{e^{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d760a29b26905306e6212fb4f00ef5e5d08d58)
semplificando otteniamo
![{\displaystyle y=c{\frac {x^{x}}{e^{x}}}=cx^{x}e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d13d58f29a5115425c30184cc08805ec87d9e2)
In questo caso cercheremo delle funzioni del tipo
![{\displaystyle y=u(x)v(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7941da2a5a0b520c209e5db812ed5028a9319a)
visto che la loro derivata ha la forma
![{\displaystyle y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b8d97ce6328cfd7f39f44c14f03d6ad3771029)
Per risolvere il caso generale, chiamiamo v(x) la soluzione del caso precedente,
, e quindi
.
Sostituendo otteniamo
![{\displaystyle y=u(ce^{Ax})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f4916045a2d9a1feff2d704c5be2d87c717b76)
Derivando si ha
![{\displaystyle y'=u'(ce^{Ax})+Ace^{Ax}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0185b535aac2fd1067b77e1d3a9cdc2367bd06ab)
Sostituendo allora y e y' nell'equazione originaria otteniamo
![{\displaystyle u'(ce^{Ax})+Ace^{Ax}u=Au(ce^{Ax})+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ca255ec3da70f643806e6ae215b9ea509cccaa)
Semplificando si ha
![{\displaystyle u'=f(x)ce^{-Ax}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c359f96bee550cee970ead199082bf9673fd2d)
che è il caso più semplice: integrando direttamente si ottiene infatti
![{\displaystyle u=c\int f(x)e^{-Ax}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643493a03931d23cb163f9f38bc993661021e962)
La soluzione generale è dunque
![{\displaystyle y=e^{Ax}\left(\int f(x)e^{-Ax}+c\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d2c97945d35e2740e7c7d17d0c545f6e5a6fb8)
Esempio
Supponiamo di avere la seguente equazione differenziale
![{\displaystyle ay'=x-y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98622938bc482956961224983596096160cdca9)
Portandola in forma canonica otteniamo
![{\displaystyle y'={\frac {x}{a}}-{\frac {1}{a}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e581617e9ca802d7c88fca2146b5b9bba73c9c)
la v è dunque
![{\displaystyle v=ce^{-{\frac {x}{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7b91ad92e5ce49e47a174324d2ad4e525fb7ca)
per la u otteniamo facilmente
![{\displaystyle u={\frac {c_{1}}{a}}\int xe^{\frac {x}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11d03681275b7f4ac39cfe1d1c5d7d581d8d7a5)
integrando per parti si ottiene
![{\displaystyle u=c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67477f831fdbd22eb7bf676fa9d6f05ed426fe09)
e dunque
![{\displaystyle y=ce^{-{\frac {x}{a}}}c_{1}\left[e^{\frac {x}{a}}(x-a)+{\frac {c_{2}}{a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9102d61997f821e496b949df13a2e4ff4cabb95f)
semplificando si arriva a
![{\displaystyle y=x-a+{\frac {c_{2}}{a}}e^{-{\frac {x}{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a57919dc66a08ef17df77f909a2e329222afdc)
Se invece di una costante A, avessimo avuto nel caso precedente una funzione g(x), ossia
![{\displaystyle y'=gy+f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fada0ac77fbd4161910a2a2e627968f38578d9d9)
ripercorrendo la stessa dimostrazione, otteniamo
![{\displaystyle y=e^{\int g}\left(\int fe^{-\int g}+c\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b03e14f7a7b209bdbe4af0875d416fc92c7a8f3)
Questa è la soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine.