Traslazione nel piano complesso

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Traslazione.jpg

In geometria, dati il numero complesso e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto , per traslazione di vettore si intende la trasformazione:

che associa al numero complesso il numero complesso .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione si deduce che se il punto , di coordinate , rappresenta , allora la sua immagine sarà il punto di coordinate , con , che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore ,

Quindi:

sommare a un numero complesso il numero complesso equivale ad applicare una traslazione di vettore al punto di coordinate .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 1[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione

è la traslazione di vettore .

Esempio 2[modifica | modifica wikitesto]

Per determinare la scrittura complessa della traslazione che porta il punto in è sufficiente osservare che è il punto associato al numero complesso , e che è il punto associato al numero complesso . Poiché sommare ad un numero complesso il numero complesso equivale applicare una traslazione di vettore al punto di coordinate , si ha che:

da cui si ottiene che .

Quindi

La traslazione richiesta è:

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il caso in cui . La traslazione di vettore è la trasformazione:

che associa al numero complesso il numero complesso .

È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ovvero modifica solo la parte reale di , mentre lascia invariata la parte immaginaria.

In modo analogo se . La traslazione di vettore è la trasformazione:

che associa al numero complesso il numero complesso .

È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ovvero che modifica solo la parte immaginaria di , mentre lascia invariata la parte reale.

Composizione di traslazioni[modifica | modifica wikitesto]

Date due traslazioni di vettori e , la trasformazione composta

è una traslazione di vettore .

Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: , poiché è commutativa la somma di vettori .

In particolare una qualsiasi traslazione di vettore è data dalla composizione delle traslazioni e . Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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