Teorema di Cauchy-Hadamard

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In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Cauchy-Hadamard o formula di Cauchy-Hadamard, il cui nome è dovuto a Augustin-Louis Cauchy e Jacques Hadamard, descrive il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Fu pubblicato nel 1821 da Cauchy, ma rimase relativamente sconosciuto fino a quando Hadamard lo riscoprì.[1] La prima pubblicazione di Hadamard del teorema risale al 1888.[2]

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Data una serie formale di potenze in una variabile complessa della forma:

con , il raggio di convergenza di nel punto è dato da:

dove denota il limite superiore, cioè il limite dell'estremo superiore dei valori della successione dopo la posizione n-esima per n che tende a infinito. Se i termini della successione sono illimitati in modo che il limite superiore è ∞, allora la serie di potenze non converge vicino ad , mentre se il limite superiore è 0 allora il raggio di convergenza è ∞, ovvero la serie converge in tutto il piano complesso.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si assuma senza perdita di generalità che . Si vuole mostrare che la serie di potenze converge per e diverge per .

Sia e diverso da zero e infinito. Per ogni esiste solo un numero finito di tale che:

Si ha che per tutti i eccetto un numero finito di essi: quindi la serie converge se .

D'altra parte, per si ha per infiniti , in modo che se:

si nota che la serie non può convergere in quanto il suo n-esimo termine non tende a 0. Il caso in cui è zero o infinito segue con facilità.[3]

Caso di più variabili complesse[modifica | modifica wikitesto]

Sia un multi-indice (una n-upla di interi), con . Allora converge con raggio di convergenza (che è un multi-indice) alla serie di potenze:

se e soltanto se:

Una dimostrazione può essere trovata in Introduction to Complex Analysis Part II - Functions in several Variables di B.V.Shabat.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, 1986, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0..
  2. ^ J. Hadamard, Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, in C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 106, pp. 259–262..
  3. ^ Serge Lang, Complex Analysis: Fourth Edition, Springer, 2002, pp. 55–56, ISBN 0-387-98592-1.Graduate Texts in Mathematics

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables , North-Holland (1973) pp. Chapt. 2.4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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