Teorema della bisettrice
Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete.
Enunciato[modifica | modifica wikitesto]
In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto.
In altri termini: dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A; sussiste allora la proporzione
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in C e in D sono congruenti. Infatti:
perché alterni interni rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AC;
perché corrispondenti rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AD;
perché parti uguali dello stesso angolo.
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora
. Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti.
Per il teorema di Talete sussiste la proporzione
e poiché AC e AD sono congruenti anche
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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della bisettrice, su MathWorld, Wolfram Research.
