Teorema della bisettrice

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Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

TeoBise.png

In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto.

In altri termini: dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A; sussiste allora la proporzione

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in C e in D sono congruenti. Infatti:

perché alterni interni rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AC;

perché corrispondenti rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AD;

perché parti uguali dello stesso angolo.

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora

. Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti.

Per il teorema di Talete sussiste la proporzione

e poiché AC e AD sono congruenti anche

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