Relazione simmetrica: differenze tra le versioni
→Relazioni asimmetriche: erano sbagliati i nomi, visti dal libo presente nelle note, il precedente pubblicatore ha sbagliato a trascrivere le informazioni del Prof. Vincenzi, la modifica verrà sottoposta al professore stesso, che è attualmente il mio professore di questa disciplina. |
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Una relazione di simmetria che è anche [[relazione transitiva|transitiva]] e [[relazione riflessiva|riflessiva]] è una [[relazione di equivalenza]]. |
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== Relazioni asimmetriche == |
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Una relazione ''R'' in ''X'' è ''' |
Una relazione ''R'' in ''X'' è '''asimmetrica''' se e solo se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' allora ''b'' non è in relazione con ''a''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \; \lnot(b R a)</math> |
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \; \lnot(b R a)</math> |
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Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è |
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche |
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== Relazioni antisimmetriche == |
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Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece ''' |
Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece '''antisimmetrica''' se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' e ''b'' è in relazione con ''a'', allora ''a'' = ''b''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math> |
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math> |
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Un esempio di relazione |
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga <math>a \leq b</math> e <math>b \leq a</math> è che ''a'' e ''b'' siano uguali. |
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Una relazione |
Una relazione antisimmetrica che è anche [[relazione transitiva|transitiva]] e [[relazione riflessiva|riflessiva]] è una [[relazione d'ordine]] debole (detta anche ''relazione d'ordine parziale'', in inglese ''poset'').<br /> |
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Dire che una relazione è |
Dire che una relazione è antisimmetrica e [[relazione irriflessiva|irriflessiva]] è equivalente a dire che è asimmetrica. |
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Si noti che l' |
Si noti che l'antisimmetria non è l'opposto della simmetria. Ci sono infatti relazioni che sono simmetriche e non antisimmetriche (come la congruenza [[aritmetica modulare|modulo]] ''n''), relazioni antisimmetriche e non simmetriche ("è minore o uguale a"), ma anche relazioni sia simmetriche che antisimmetriche (come l'[[uguaglianza (matematica)|uguaglianza]]) o né simmetriche né antisimmetriche (la [[divisore|divisibilità]] fra [[numeri interi|interi]]).<ref>{{Cita libro|autore=Giovanni Vincenzi|titolo=Algebra per informatica|anno=1 Marzo 2015|editore=Aracne|città=|p=|pp=13-14|ISBN=978-88-548-8225-6}}</ref> |
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== Note == |
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Versione delle 18:34, 25 set 2018
In matematica, una relazione binaria R in un insieme X è simmetrica se e solo se, presi due elementi qualsiasi a e b, vale che se a è in relazione con b allora anche b è in relazione con a. In simboli:
Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è.
Una relazione di simmetria che è anche transitiva e riflessiva è una relazione di equivalenza.
Relazioni asimmetriche
Una relazione R in X è asimmetrica se e solo se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b allora b non è in relazione con a. In simboli:
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche
Relazioni antisimmetriche
Una relazione R in X è detta invece antisimmetrica se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora a = b. In simboli:
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga e è che a e b siano uguali.
Una relazione antisimmetrica che è anche transitiva e riflessiva è una relazione d'ordine debole (detta anche relazione d'ordine parziale, in inglese poset).
Dire che una relazione è antisimmetrica e irriflessiva è equivalente a dire che è asimmetrica.
Si noti che l'antisimmetria non è l'opposto della simmetria. Ci sono infatti relazioni che sono simmetriche e non antisimmetriche (come la congruenza modulo n), relazioni antisimmetriche e non simmetriche ("è minore o uguale a"), ma anche relazioni sia simmetriche che antisimmetriche (come l'uguaglianza) o né simmetriche né antisimmetriche (la divisibilità fra interi).[1]
Note
- ^ Giovanni Vincenzi, Algebra per informatica, Aracne, 1 Marzo 2015, pp. 13-14, ISBN 978-88-548-8225-6.
