Operatore differenziale

In matematica un operatore differenziale è un operatore lineare definito come una funzione dell'operatore differenziazione.

Notazioni

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

${d \over dx}$

$D,\,$ quando la variabile di differenziazione è chiara, e

$D_{x},\,$ quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

Per le derivate successive

$d^{n} \over dx^{n}$

$D^{n}\,$

$D_{x}^{n}.\,$

La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

nello studio delle equazioni differenziali.

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Un altro operatore differenziale è l'operatore Θ, definito come

$\Theta =z{d \over dz}.$

Proprietà degli operatori differenziali

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle derivate, che sono lineari

$D(f+g)=(Df)+(Dg)$

$D(af)=a(Df)$

dove f e g sono funzioni e a è una costante.

Ogni polinomiale in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

(D₁oD₂)(f) = D₁ [D₂(f)].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D₂ deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D₁ richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è commutativo: un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio la relazione semplice in meccanica quantistica

Dx − xD = 1.

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

Più variabili

La stessa costruzione può essere usata con le derivate parziali.

Descrizione indipendente dalle coordinate

In geometria differenziale e in geometria algebrica è spesso conveniente avere una descrizione degli operatori indipendente dalle coordinate.

Voci correlate

• Operatore differenziale lineare