Geometria: differenze tra le versioni
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[[File:Woman teaching geometry.jpg|thumb|300px|Illustrazione [[XIV secolo|trecentesca]]: una donna insegna geometria]] |
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La '''geometria''' (dal [[greco antico]] ''γεωμετρία'', composto dal prefisso ''geo'' che rimanda alla parola ''γή'' = "terra" e ''μετρία'', ''metria'' = "misura", tradotto quindi letteralmente come ''misurazione della terra'') è quella parte della [[scienza]] [[matematica]] che si occupa delle forme nel [[Piano (geometria)|piano]] e nello [[Spazio (matematica)|spazio]] e delle loro mutue relazioni. |
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== Geometria euclidea == |
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[[File:Euklid2.jpg|thumb|right|150px|Euclide nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]'' formula per primo una descrizione assiomatica della geometria.]] |
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{{vedi anche|Geometria euclidea}} |
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La geometria coincide fino all'inizio del [[XIX secolo]] con la geometria euclidea. Questa definisce come [[concetto primitivo|concetti primitivi]] il [[punto (geometria)|punto]], la [[retta]] e il [[piano (geometria)|piano]], e assume la veridicità di alcuni [[assioma|assiomi]], gli [[Assiomi di Euclide]]. Da questi assiomi vengono quindi [[deduzione|dedotti]] dei [[teorema|teoremi]] anche complessi, come il [[Teorema di Pitagora]] ed i teoremi della [[geometria proiettiva]]. |
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La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello [[Spazio (matematica)|spazio]] tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il [[triangolo]] o la [[piramide (geometria)|piramide]]. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo: [[Meccanica (fisica)|meccanica]], [[architettura]], [[geografia]], [[navigazione]], [[astronomia]]. |
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[[File:Simple polygon.svg|thumb|180px|left|Un [[esagono]] non [[poligono convesso|convesso]]. La somma degli angoli interni in un esagono è sempre 720°]] |
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=== Geometria piana === |
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{{vedi anche|Geometria piana}} |
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La [[geometria piana]] si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i [[segmento|segmenti]], e quindi i [[poligono|poligoni]] come il [[triangolo]], il [[Quadrato (geometria)|quadrato]], il [[Pentagono (geometria)|pentagono]], l'[[esagono]], ecc. |
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Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la [[lunghezza]], l'[[angolo]] e l'[[area]]. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un [[angolo piatto]], e l'area di un [[rettangolo]] si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di ''base'' e ''altezza''. La [[trigonometria]] studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze. |
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=== Geometria solida === |
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[[File:120px-Dodecahedron-slowturn.gif|thumb|right|Il [[dodecaedro]] è uno dei cinque [[solido platonico|solidi platonici]]. Platone nel [[Timeo (dialogo)|Timeo]] ritenne che il dodecaedro rappresentasse la forma dell'universo.]] |
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{{vedi anche|Geometria solida}} |
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La [[geometria solida]] (o stereometria) studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i [[poliedro|poliedri]], come il [[tetraedro]], il [[cubo]] e la [[piramide]]. |
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I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha un [[volume]]. Si parla inoltre di [[angolo diedrale|angoli diedrali]] per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della [[piramide]] può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza. |
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[[File:Conic sections.png|thumb|left|Le [[sezione conica|sezioni coniche]] ([[circonferenza]], [[ellisse]], [[parabola (geometria)|parabola]], [[iperbole (geometria)|iperbole]]) sono ottenute come intersezione di un cono con un piano]] |
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=== Figure curve === |
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{{vedi anche|Sezione conica}} |
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La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure "base" sono la [[circonferenza]] nel piano e la [[sfera]] nello spazio, definite come luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come il [[cono (solido)|cono]]. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della circonferenza, di area del [[cerchio]] e di volume della sfera. |
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L'intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell'inclinazione del piano, questa è una [[ellisse]], una [[parabola (geometria)|parabola]], un'[[iperbole (geometria)|iperbole]] o una [[circonferenza]]. Queste [[sezione conica|sezioni coniche]] sono le curve più semplici realizzabili nel piano. |
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Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curve. Ad esempio, ruotando un'ellisse o una parabola si ottengono l'[[ellissoide]] ed il [[paraboloide]]. Anche in questo caso, il volume dell'oggetto può essere messo in relazione con altre quantità. |
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La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve. |
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== Geometria cartesiana == |
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[[File:Ellipsoide.png|thumb|right|Un [[ellissoide]] può essere rappresentato in geometria analitica come luogo di punti che soddisfano una certa equazione, del tipo <math> \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} =1 </math>, nelle variabili <math>x,y,z</math> associate ai tre assi cartesiani.]] |
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{{vedi anche|Geometria analitica}} |
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La [[geometria cartesiana]] (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'[[algebra]] e l'[[analisi matematica|analisi]]. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle [[coordinate cartesiane]]. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più [[equazione|equazioni]] (o [[disequazione|disequazioni]]). |
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Rette e piani sono oggetti risultanti da [[equazione lineare|equazioni di primo grado]], mentre le coniche sono definite tramite [[equazione di secondo grado|equazioni di secondo grado]]. Equazioni [[polinomio|polinomiali]] di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi. |
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Il [[calcolo infinitesimale]] permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'[[integrale]] è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di [[curva (matematica)|curve]] e [[superficie|superfici]] nel piano e nello spazio. |
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[[File:Vector space illust.svg|thumb|left|Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati "vettori", che possono essere sommati e riscalati.]] |
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=== Spazi vettoriali === |
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{{vedi anche|Algebra lineare|Spazio vettoriale}} |
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Retta (passante per l'origine), piano (contenente l'origine) e spazio sono esempi di [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate. |
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Grazie all'[[algebra lineare]], lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio dei [[sottospazio vettoriale|sottospazi]] di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello dei [[sistema lineare|sistemi lineari]] e delle loro soluzioni. |
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In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo. |
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=== Geometria affine === |
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[[File:PlaneIntersection.png|thumb|right|Due piani nello spazio sono paralleli oppure si intersecano in una retta, come in figura.]] |
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{{vedi anche|Geometria affine}} |
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In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'[[algebra lineare]], si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la [[formula di Grassmann]]. |
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Nella [[geometria affine]] il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta della [[relatività ristretta]]) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati. |
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== Geometria algebrica == |
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{{vedi anche|Geometria algebrica}} |
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Dal [[XIX secolo]] in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la [[geometria proiettiva]]), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei [[numeri reali]], ma anche in quelli [[numeri complessi|complessi]]. |
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[[File:Drawing Square in Perspective 2.gif|thumb|left|250 px|La geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio". In questa geometria due rette si incontrano sempre.]] |
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=== Geometria proiettiva === |
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{{vedi anche|Geometria proiettiva}} |
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La [[geometria proiettiva]] nasce come strumento legato al disegno in [[prospettiva (arte)|prospettiva]], e viene formalizzata nel [[XIX secolo]] come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele. |
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In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto. |
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La geometria proiettiva è anche un esempio di [[compattificazione]]: similmente a quanto accade con la [[proiezione stereografica]], aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa [[spazio compatto|compatto]], cioè "limitato", "finito". |
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[[File:Conics and cubic.svg|right|thumb|Varietà algebriche definite da alcuni semplici polinomi nel piano: due [[circonferenza|circonferenze]], una [[parabola (geometria)|parabola]], una [[iperbole (geometria)|iperbole]], una ''cubica'' (definita da un'equazione di terzo grado).]] |
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=== Varietà algebriche === |
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{{vedi anche|Varietà algebrica}} |
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La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei [[polinomio|polinomi]] e delle loro [[radice (matematica)|radici]]: gli oggetti che tratta, chiamati [[varietà algebrica|varietà algebriche]], sono gli insiemi dello [[spazio proiettivo]], [[spazio affine|affine]] o [[spazio euclideo|euclideo]] definiti come luoghi di zeri di polinomi. |
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Nel [[XX secolo]] il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel [[campo (matematica)|campo]] dei [[numeri complessi]]: in questo caso, grazie al [[teorema fondamentale dell'algebra]], un polinomio ha sempre delle radici. |
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Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano un [[campo algebricamente chiuso]]) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il [[teorema di Bézout]] asserisce che due curve di grado <math> d </math> e <math> d' </math> nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano ''sempre'' in <math> dd' </math> punti, contanti con un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte. |
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Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si riflettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante. |
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Come lo studio della [[geometria affine]] fa largo uso dell'[[algebra lineare]], quello delle varietà algebriche attinge a piene mani dall'[[algebra commutativa]]. |
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== Geometria differenziale == |
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[[File:Saddle pt.jpg|thumb|left|Un [[punto di sella]] ha curvatura negativa]] |
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{{vedi anche|Geometria differenziale}} |
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La [[geometria differenziale]] è lo studio di oggetti geometrici tramite l'[[analisi matematica|analisi]]. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio [[curva (matematica)|curve]] e [[superficie (matematica)|superfici]], cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia. |
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Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di [[varietà differenziabile]]. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella [[relatività generale]] per descrivere intrinsecamente la forma dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la [[curvatura]], che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il [[tensore di Riemann]]. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di [[curvatura gaussiana]] per le superfici. |
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Su una varietà dotata di curvatura, detta [[varietà riemanniana]], sono definite una [[distanza (matematica)|distanza]] fra punti, e le [[geodetica|geodetiche]]: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i [[meridiano (geografia)|meridiani]] sulla superficie terrestre. |
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=== Geometrie non euclidee === |
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[[File:Uniform tiling 54-snub.png|thumb|right|250px|Triangoli, quadrilateri e pentagoni formano una [[tassellazione]] del piano nella [[geometria iperbolica]] qui rappresentata dal [[disco di Poincaré]]. Questa geometria non-euclidea è rappresentata in molte [[litografia (arte)|litografie]] di [[Maurits Escher]].]] |
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{{vedi anche|Geometria non euclidea}} |
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Con la geometria differenziale è possibile costruire un "piano" in cui valgono tutti i [[assiomi di Euclide|postulati di Euclide]], tranne il [[V postulato di Euclide|quinto]], quello ''delle parallele''. Questo postulato ha avuto un'importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva indipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta <math> r </math> ed un punto <math> P </math> non contenuto in <math> r </math>, esiste un'unica retta <math> s </math> parallela a <math> r </math> e passante per <math> P </math>. |
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Una [[geometria non euclidea]] è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. La [[sfera]], con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecano ''sempre'' in due [[punti antipodali (matematica)|punti antipodali]], e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è detta [[geometria ellittica|ellittica]]. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono "così tante" rette parallele, che le rette <math> s </math> parallele a <math> r </math> e passanti per <math> P </math> sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è detta [[geometria iperbolica|iperbolica]], ed è più difficile da descrivere concretamente. |
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== Topologia == |
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[[File:Möbius strip.jpg|thumb|left|Il [[nastro di Möbius]] è una [[superficie (matematica)|superficie]] non [[orientabilità|orientabile]]: ha infatti una "faccia" sola. Questo è un oggetto studiato in topologia.]] |
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{{vedi anche|Topologia}} |
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La [[topologia]] è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant'altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio la [[sfera]] dal [[toro (geometria)|toro]], perché quest'ultimo ha "un buco in mezzo". Studia le proprietà di [[spazio connesso|connessione]] (spazi "fatti di un pezzo solo") e di [[spazio compatto|compattezza]] (spazi "limitati"), e le [[funzione continua|funzioni continue]] fra questi. |
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Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come il [[gruppo fondamentale]]: un [[gruppo (matematica)|gruppo]] che codifica in modo raffinato la presenza di "buchi" in uno [[spazio topologico]]. |
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== Geometria e geometrie == |
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{{Vedi anche|Programma di Erlangen|Geometria delle trasformazioni}} |
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[[File:Felix Klein.jpeg|thumb|right|[[Felix Klein]]]] |
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Nel 1872 [[Felix Klein]] elaborò un programma di ricerca, l'''[[Programma di Erlangen|Erlanger Programm]]'', in grado di produrre una grande sintesi delle conoscenze geometriche e integrarle con altri settori della matematica, quali la [[teoria dei gruppi]]. |
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Nella prospettiva di Klein una ''geometria'' consiste nello studio di proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un [[gruppo (matematica)|gruppo]] di trasformazioni ([[geometria delle trasformazioni]]): |
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* La [[geometria euclidea]] si occupa di proprietà che sono invarianti rispetto a [[isometria|isometrie]], cioè trasformazioni che preservano lunghezze e angoli. |
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* La [[geometria affine]] si occupa di proprietà che sono invarianti per [[trasformazione affine|trasformazioni affini]]. In ambito di geometria affine non ha più senso il concetto di "angolo" o di "lunghezza" e tutti i triangoli sono "equivalenti". |
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* La [[geometria proiettiva]] studia le proprietà che sono invarianti per [[trasformazione proiettiva|trasformazioni proiettive]], cioè trasformazioni che possono essere ottenute mediante proiezioni. In ambito proiettivo tutte le [[conica|coniche]] sono equivalenti potendo essere trasformata l'una nell'altra da una proiezione. |
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* La [[topologia]] studia proprietà che sono invarianti per [[omeomorfismo|deformazioni continue]]. Dal punto di vista topologico una tazza ed una ciambella diventano equivalenti potendo essere deformate l'una nell'altra ma rimangono distinte da una sfera che non può essere "bucata" senza una trasformazione discontinua. |
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== Applicazioni == |
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La [[geometria analitica]] e l'[[algebra lineare]] forniscono importanti collegamenti tra l'intuizione geometrica e il calcolo algebrico che sono diventati ormai una parte costitutiva di tutta la matematica moderna e delle sue applicazioni in tutte le scienze. |
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La [[geometria differenziale]] ha trovato importanti applicazioni nella costruzione di [[modello matematico|modelli]] per la [[fisica]] e per la [[cosmologia (astronomia)|cosmologia]]. |
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La geometria piana e dello spazio fornisce inoltre degli strumenti per modellizzare, progettare e costruire oggetti reali nello spazio tridimensionale: è quindi di fondamentale importanza in [[architettura]] e in [[ingegneria]] come anche nel [[disegno]] e nella [[computer grafica]]. |
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=== Geometria descrittiva === |
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[[File:Coni-complanari.gif|right|thumb|esempio di raccordo tangenziale tra due quadriche di rotazione]] |
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{{vedi anche|Geometria descrittiva}} |
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La [[geometria descrittiva]] è una disciplina che permette, attraverso determinate costruzioni grafiche, di [[metodi di rappresentazione|rappresentare]] oggetti tridimensionali già esistenti ([[rilievo]]) e/o da costruire ([[progettazione]]). |
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L'applicazione informatizzata della geometria descrittiva permette oggi la creazione di [[superficie|superfici]] e solidi, anche ad alta complessità [[tridimensionale]]. Inoltre, e soprattutto, ne permette il controllo in modo inequivocabile di ogni loro [[Figura (geometria)|forma]] e [[dimensione]]. |
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I maggiori campi d'impiego della geometria descrittiva sono quelli dell'[[architettura]], dell'[[ingegneria]] e quelli del [[Disegno industriale|design]] industriale. |
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== Cenni storici == |
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{{vedi anche|Storia della geometria}} |
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La nascita della Geometria si fa risalire all'epoca degli [[Antico Egitto|antichi egizi]]. [[Erodoto]] racconta che a causa dei fenomeni di erosione e di deposito dovuti alle piene del [[Nilo]], l'estensione delle proprietà terriere egiziane variavano ogni anno e dovevano quindi essere ricalcolate a fini fiscali. Nacque così il bisogno di inventare tecniche di ''misura della terra'' (''geometria'' nel significato originario del termine). |
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Lo sviluppo della Geometria pratica è molto antico, per le numerose applicazioni che consente e per le quali è stata sviluppata, e in epoche remote fu a volte riservata a una categoria di sapienti con attribuzioni sacerdotali. |
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Presso l'[[Antica Grecia]], {{citazione necessaria|soprattutto per via dell' influenza del [[filosofia greca|filosofo]] ateniese [[Platone]] e, ancor prima di lui, di [[Anassimandro di Mileto]]}}, si diffuse massicciamente l'[[Costruzioni con riga e compasso|uso della riga e del compasso]] (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove) e, soprattutto, nacque l'idea nuova di usare tecniche dimostrative. La [[Matematica greca|geometria greca]] servì da base per lo sviluppo della [[geografia]], dell'[[astronomia]], dell'[[ottica]], della [[Meccanica (fisica)|meccanica]] e di altre scienze, nonché di varie tecniche, come quelle per la [[navigazione]]. |
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Nella [[Cultura greca|civiltà greca]], oltre alla [[geometria euclidea]] che si studia ancora a scuola, e alla teoria delle coniche, nacquero anche la [[geometria sferica]] e la [[trigonometria]] ([[trigonometria piana|piana]] e [[trigonometria sferica|sferica]]). |
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== Bibliografia == |
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* Dubrovin, Novikov, Fomenko, "Geometria contemporanea - metodi e applicazioni", 3 volumi, Editori Riuniti university press 2011. ISBN 978 88 6473 232 9-233 6- 234 |
|||
* Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010. |
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* [[Robin Hartshorne]] ''Geometry: Euclid and Beyond'', Springer 2000, ISBN 0-387-98650-2 |
|||
* [[Federigo Enriques]] ''Questioni riguardanti la geometria elementare'', Bologna Zanichelli 1900 |
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* [[Federigo Enriques]], [[Ugo Amaldi]] ''Elementi di Geometria ad uso delle scuole superiori'', Zanichelli Bologna 1903 (ristampe fino al 1992) |
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* [[Federigo Enriques]] ''Gli elementi di Euclide e la critica antica e moderna'', 4 volumi, Roma e Bologna 1925 |
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* [[Federigo Enriques]] ''Lezioni di geometria descrittiva'', Bologna 1893 |
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* [[Guido Castelnuovo]] ''Lezioni di geometria analitica e proiettiva'', Roma, Milano, 1905 |
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* [[Guido Castelnuovo]] ''Elementi di geometria analitica e proiettiva'' Roma, 1909 |
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== Voci correlate == |
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* [[Matematica]] |
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* [[Algebra]] |
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* [[Analisi matematica]] |
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* [[Storia della geometria]] |
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* [[Geometria senza punti]] |
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== Altri progetti == |
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{{interprogetto|etichetta=geometria|wikt=geometria|commons=Category:Geometry|q}} |
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== Collegamenti esterni == |
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* [http://www.elvenkids.com/tools/geometria/Geometria_it.php Geometria online] Calcola automaticamente aree, perimetri, ecc. di figure piane e solide. |
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* {{Thesaurus BNCF}} |
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{{Geometria}} |
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{{Arti liberali}} |
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{{Portale|matematica}} |
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[[Categoria:Geometria| ]] |
[[Categoria:Geometria| ]] |
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[[Categoria:Arti liberali]] |
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