Controllo deadbeat

Il controllo deadbeat, nell'ambito del controllo automatico, è una tecnica usata per sintetizzare dei controllori analogici o digitali. Ha come obbiettivi principali, in risposta ad un dato segnale in ingresso, il raggiungimento del valore finale nel tempo minimo e l'assenza di errore a regime.

Controllori digitali

Un controllore digitale deadbeat richiede che, in seguito all'applicazione di un segnale di prova (gradino, rampa, parabola, ecc.):

1. l'uscita raggiunga il valore finale nel tempo minimo
2. l'errore a regime sia nullo
3. non ci siano oscillazioni (ringing) tra gli istanti di campionamento

Progettazione

Si considera anzitutto un sistema in retroazione unitaria, descritto dalla funzione di trasferimento discreta:

$G(z)={\frac {D(z)G_{p}(z)}{1+D(z)G_{p}(z)}}$

In questo contesto $D(z)$ è il controllore e $G_{p}(z)$ la funzione di trasferimento del plant in anello aperto.

Raggiungimento del valore finale in tempo minimo

Affinché l'uscita raggiunga il valore finale in un numero limitato di passi si impone che essa sia del tipo$G_{m}(z)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+...+a_{N}z^{-N}$ dove, poiché il ritardo nel sistema in anello chiuso non può essere inferiore al ritardo del sistema in anello aperto, dev'essere $N\geq n$ se n è il grado del polinomio caratteristico del plant.

Imponendo la condizione $G_{m}(z)=G(z)$ è possibile esplicitare la funzione di trasferimento del controllore:

$D(z)={\frac {G_{m}(z)}{G_{p}(z)\left[1-G_{m}(z)\right]}}$

Benché teoricamente sia sempre possibile costruire un regolatore con questa struttura, affinché esso sia stabile, causale e di conseguenza realizzabile anche nella pratica, devono essere rispettate una serie di condizioni. Le condizioni di causalità sono:

1. Il grado del numeratore di D(z) non può essere maggiore del grado del denumeratore
2. Se nel plant è presente un ritardo di k intervalli di campionamento, nel controllore dev'esserci necessariamente un ritardo di h intervalli di campionamento con $h\geq k$

Le condizioni per la stabilità sono:

1. Tutti i poli instabili o criticamente stabili di $G_{p}(z)$ devono essere zeri di 1-G_m(z)
2. Tutti gli zeri di $G_{p}(z)$ che si trovano nella regione di instabilità devono essere zeri di $G_{m}(z)$

Errore a regime nullo

Si considera un ingresso nella forma:

$V(z)={\frac {P(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^{q+1}}}$

Essa comprende i segnali di riferimento più semplici:

• per $P(z)=1$ e $q=0$ si ha il gradino unitario
• per $P(z)=Tz-1eq=1$ si ha la rampa unitaria

e così via.

Si vuole che l'errore vada a zero in un tempo finito e che rimanga tale. Poiché la dinamica dell'errore si può scrivere come:

${\begin{aligned}E(z)&=V(z)-Y(z)\\&=V(z)-V(z)G_{m}(z)\\&={\frac {P(z)\left[1-G_{m}(z)\right]}{(1-z^{-1})^{q+1}}}\end{aligned}}$

si impone la condizione $1-G_{m}(z)=(1-z^{-1})N(z)$ dove $N(z)$ è un generico polinomio in $z^{-1}$. In questo modo si verifica facilmente che l'errore avrà la dinamica $E(z)=P(z)N(z)$ e andrà quindi a zero dopo un numero finito di passi, quale che sia il valore di $N(z)$ purché siano rispettate le condizioni di stabilità e causalità.

Evitare fenomeni di ringing

I fenomeni di ringing si verificano solitamente per periodi di campionamento troppo piccoli e possono saturare gli attuatori nel sistema reale. Per evitare fenomeni di ringing bisogna imporre delle condizioni sulla variabile di attuazione. A questo proposito si può mettere in relazione la variabile di attuazione con il segnale di ingresso:

$U(z)={\frac {Y(z)}{G_{p}(z)}}=G_{m}(z){\frac {V(z)}{G_{p}(z)}}$

In questo modo è possibile "scegliere" la funzione la forma

Metodo semplificato

Se il plant non ha poli né zeri fuori dal cerchio unitario si può considerare un metodo semplificato per la progettazione del controllore.

In questo caso infatti si può sempre raggiungere la situazione ideale in cui $G_{m}(z)=z^{-k}$. Il sistema in questo caso si comporta a tutti gli effetti come un vero e proprio "deadbeat", un "tempo morto", poiché l'uscita segue fedelmente l'ingresso dopo k istanti di campionamento.

In questa situazione, per ingressi a gradino, è facile verificare che il controllore può essere riscritto come: ${\frac {1}{G_{p}(z)}}{\frac {z^{-k}}{1-z^{-k}}}$

Si noti come non vengono imposte delle specifiche sulla variabile di attuazione. In altre parole questo metodo da solo non è in grado di evitare fenomeni di ringing.

Metodo semplificato con specifica sull'attuazione

E' possibile considerare un altro metodo semplificato per la progettazione di un controllore deadbeat, imponendo delle specifiche sulla variabile di attuazione.

Si consideri un generico plant $G_{p}(z)$.

Si moltiplica e divide per una costante affinché la somma dei coefficienti del numeratore sia pari ad uno, ottenendo una nuova funzione nella forma: $G'(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$.

Il controllore sarà quindi:

$D(z)={\frac {Q(z)}{1-P(z)}}$

Controllori analogici

Nei sistemi a tempo continuo il controllo deadbeat richiede, in risposta ad un particolare ingresso:

1. Errore nullo a regime
2. Tempo di salita minimo
3. Tempo di assestamento minimo
4. Meno del 2% di overshoot/undershoot
5. Output del segnale di controllo molto alto

Si noti come, a differenza del controllo digitale, il controllo analogico non può garantire che l'uscita raggiunga il segnale di riferimento in un tempo finito.

Bibliografia

• C. Bonivento, C. Melchiorri, R. Zanasi, Sistemi di controllo digitale, Esculapio, 1995. 8885040969
• I. D. Landau, G. Zito, Digital control systems, Springer, 2006. 1846280559