Formula di Erlang B

Erlang B è la distribuzone di probabilità che descrive la probabilità di blocco di r risorse quando viene offerto un traffico pari a t Erlang. Corrisponde alla variabile casuale Erlanghiana con parametro a=1:

$f(x)={x^{n-1}e^{-x} \over (n-1)!}\quad {\mbox{per }}x>0.$

la formula in formato compatto è di difficile computazione. Più algoritmicamente aggredibile è il formato ricorsivo:

$Eb(0,t)=1\,$

$Eb(r,t)={{tEb(r-1,t)} \over {r+tEb(r-1,t)}}\,$

dove:

• Eb è la probabiblità di blocco
• r è il numero di risorse
• t è il traffico offerto in Erlang

L'ipotesi sottostante alla distribuzione Erlang B è che il processo sia a perdita: una richiesta ricevuta e non soddisfatta viene persa.

Questa formula è usata nel calcolo dei Call center per il dimensionamento delle risorse in funzione del numero di chiamate da gestire

Dalla Erlang B alla Gamma alla Dirichlet

Se si hanno k indipendenti v.c. casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di v.c. dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

$Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (1,\alpha _{i})$

definendo la loro somma come

$V=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (1,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}),$

allora si ha che

$(X_{1},\ldots ,X_{k})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{k}/V)\sim \operatorname {Dir_{k}} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}).$

dove Dir_k è una variabile casuale di Dirichlet.

Voci correlate

• Erlang
• Erlang C
• Variabile casuale Erlanghiana
• Agner Krarup Erlang
• variabile casuale di Dirichlet

Collegamenti esterni

• Erlang Distribution
• Introduzione alla Erlang B e C scritto da Ian Angus (PDF Document - in inglese)