Teorema di Sylvester-Gallai

IL Teorema di Sylvester–Gallai asserisce che dato un numero finito di punti in un piano, allora

1. Tutti i punti sono allineati; oppure
2. Esiste una retta che contiene esattamente due dei punti.

Questo teorema fu posto come problema da James Joseph Sylvester nel 1893 e risolto da Tibor Gallai nel 1944. Una variante qualitativa del teorema è il Teorema di Beck. Il teorema non è vero con infiniti punti, basta considerare per esempio l'insieme dei punti costituito da ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {Z}}$.

Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai

Supponiamo di avere un numero finito di punti non allineati (devono essere almeno tre). Definamo retta di connessione una retta contiene almeno due punti della collezione; allora dobbiamo mostrare che retta di connessione contiene esattamente due punti.

Sia l una retta di connessione, poiché i punti non sono allinati, esiste almeno un punto P che non appartiene a l. Se l contiene esattamente due punti siamo a posto. Altrimenti, sappiamo che l contiene almeno tre punti, che chiamiamo ad esempio A, B e C . Possiamo presupporre senza perdita di generalità che B si trova fra A e C . Poichè gli angoli $\angle ABP$ e $\angle CBP$ sommati valgono 180 gradi, non possono essere entrambi ottusi; possiamo supporre $\angle ABP$ non ottuso (cioè acuto).

Sia ora m retta di connessione di C e P allora m non contiene B. Inoltre, la distanza fra B e m è minore della distanza fra P e l.

Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione l ed un punto P non appartenete alla retta. Allora l contiene esattamente due punti oppure esiste un'altra retta di connessione m ed un punto B non appartenete alla retta tali che la distanza fra B e m è minore della distanza fra P ed l. Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo a P ed l B e m. Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché otterremmo una successione di distanze decrescienti ma il numero di distanze possibili fra i punti e le rette di connessione è limitato perché l'insieme originale è stato presupposto per essere limitato. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti soltanto.