Relazione simmetrica: differenze tra le versioni
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Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece '''antisimmetrica''' se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' e ''b'' è in relazione con ''a'', allora ''a'' = ''b''. In simboli: |
Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece '''antisimmetrica''' se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' e ''b'' è in relazione con ''a'', allora ''a'' = ''b''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \ |
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \land b R a \; \Rightarrow \; a = b</math> |
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Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga <math>a \leq b</math> e <math>b \leq a</math> è che ''a'' e ''b'' siano uguali. |
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga <math>a \leq b</math> e <math>b \leq a</math> è che ''a'' e ''b'' siano uguali. |
Versione delle 19:08, 9 dic 2018
In matematica, una relazione binaria R in un insieme X è simmetrica se e solo se, presi due elementi qualsiasi a e b, vale che se a è in relazione con b allora anche b è in relazione con a. In simboli:
Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è.
Una relazione di simmetria che è anche transitiva e riflessiva è una relazione di equivalenza.
Relazioni asimmetriche
Una relazione R in X è asimmetrica se e solo se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b allora b non è in relazione con a. In simboli:
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche
Relazioni antisimmetriche
Una relazione R in X è detta invece antisimmetrica se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora a = b. In simboli:
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga e è che a e b siano uguali.
Una relazione antisimmetrica che è anche transitiva e riflessiva è una relazione d'ordine debole (detta anche relazione d'ordine parziale, in inglese poset).
Dire che una relazione è antisimmetrica e irriflessiva è equivalente a dire che è asimmetrica.
Si noti che l'antisimmetria non è l'opposto della simmetria. Ci sono infatti relazioni che sono simmetriche e non antisimmetriche (come la congruenza modulo n), relazioni antisimmetriche e non simmetriche ("è minore o uguale a"), ma anche relazioni sia simmetriche che antisimmetriche (come l'uguaglianza) o né simmetriche né antisimmetriche (la divisibilità fra interi).[1]
Note
- ^ Giovanni Vincenzi, Algebra per informatica, Aracne, 1 Marzo 2015, pp. 13-14, ISBN 978-88-548-8225-6.