Sistema F

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Il sistema F, anche conosciuto come lambda calcolo polimorfico o lambda calcolo di secondo ordine, è un lambda calcolo tipizzato. È stato scoperto indipendentemente dal logico Jean-Yves Girard e dall'informatico John C. Reynolds. Il sistema F formalizza la nozione di polimorfismo parametrico nei linguaggi di programmazione e pone le basi per linguaggi come Haskell, ML, e F#. Come sistema di riscrittura di termini, è fortemente normalizzante.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Come il lambda calcolo è composto da variabili sulle funzioni e relativi binder, così il lambda calcolo di secondo ordine ha variabili sui tipi e relativi binder.

Ad esempio, il fatto che la funzione identità può essere di qualunque tipo della forma A→ A può essere formalizzato nel sistema F come segue:

dove α è una variabile di tipo. Il maiuscolo è usato per indicare una funzione parametrica rispetto alla variabile di tipo α, mentre il minuscolo viene usato per indicare l'input di un termine x.

Sotto l'isomorfismo di Curry-Howard, il sistema F corrisponde a una logica proposizionale di secondo ordine.

Il sistema F può essere visto come parte del lambda cubo, insieme ad altri lambda calcoli tipati più espressivi, inclusi quelli con solo tipi dipendenti.

Logica e predicati[modifica | modifica wikitesto]

Il tipo Boolean è definito come segue: , dove α è una variabile di tipo. Questo produce le seguenti due definizioni per i valori booleani TRUE e FALSE:

TRUE :=
FALSE :=

Così, con questi due λ-termini, possiamo definire alcuni operatori logici:

AND :=
OR :=
NOT :=

Non c'è un vero bisogno di una funzione IFTHENELSE visto che si possono usare direttamente i termini grezzi di tipo booleano come funzioni di decisione. Comunque, se necessario:

IFTHENELSE :=

soddisfa tale necessità. Un predicato è una funzione che ritorna un valore booleano. Uno dei predicati fondamentali è ISZERO che ritorna TRUE se e solo se il suo argomento è il numerale di Church 0:

ISZERO := λ n. nx. FALSE) TRUE

Strutture del sistema F[modifica | modifica wikitesto]

Il sistema F permette alle costruzioni ricorsive di essere incluse in modo naturale.

Le strutture astratte (S) sono create usando i constructors. Essi sono funzioni tipate come segue:

.

La ricorsività diventa manifesta se stesso appare in uno dei tipi . Se abbiamo di questi costruttori, possiamo definire un tipo di come segue:

Ad esempio, i numeri naturali possono essere definiti come un tipo di dato induttivo con costruttori

Nel sistema F il tipo corrispondente a questa struttura è . I termini di questo tipo costituiscono una versione tipata dei numerali di Church, i primi dei quali sono:

0 :=
1 :=
2 :=
3 :=

Se si inverte l'ordine degli argomenti (cioè, ), allora il numerale di Church per è una funzione che ha una funzione f come argomento e ritorna l'esima potenza di f. Ciò vuol dire che un numerale di Church è una funzione di ordine superiore -- che prende una funzione con un solo argomento f e ritorna un'altra funzione con un singolo argomento.

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