In geometria differenziale, il rilevamento di Kosmann[1][2] (in inglese Kosmann lift) di un campo vettoriale
, definito su una varietà riemanniana
, è la proiezione canonica
sul fibrato dei riferimenti ortonormali del suo rilevamento naturale (in inglese natural lift)
definito sul fibrato dei riferimenti lineari. Prende il nome della matematica francese Yvette Kosmann-Schwarzbach.
In generale, assegnato un sottofibrato
di un fibrato
sopra
e un campo vettoriale
su
, la sua restrizione
a
risulta essere un campo vettoriale "lungo"
, non sopra (ovvero tangente a)
. Se con
si denota l'immersione canonica, allora
risulta essere una sezione del fibrato (in inglese pullback bundle)
, definito da:
![{\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)=\tau _{E}(v)\}\subset Q\times TE,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce674b7cce2550f174c8f08ef2d205af1d7e186a)
dove
è il fibrato tangente al fibrato
.
Ora, si supponga che sia stata assegnata una decomposizione di Kosmann del fibrato
, tale che
![{\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=TQ\oplus {\mathcal {M}}(Q),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e570d7e90dfb57b1996f4063820881356ef09fe)
i.e., in ogni punto
vale
dove
è un sottospazio vettoriale di
e si assume per ipotesi che
costituisca un fibrato vettoriale su
. Segue che la restrizione
a
si decompone in un campo vettoriale tangente
definito sopra
e in un campo vettoriale transverso
che risulta essere una sezione del fibrato
Sia
il fibrato dei riferimenti ortonormali orientati di una varietà riemanniana orientata
-dimensionale. Esso è un
-sottofibrato principale del fibrato dei riferimenti lineari
della varietà
. Il gruppo di struttura del fibrato principale
è il gruppo lineare
. Per definizione, si può dire che è data una
-struttura riduttiva classica. Il gruppo speciale ortogonale
è un sottogruppo di Lie riduttivo di
. Infatti, vale la seguente somma diretta
, dove
è l'algebra di Lie di
,
è l'algebra di Lie di
, e
è il sottospazio vettoriale
-invariante delle matrici simmetriche, i.e.
per ogni
Sia
l'immersione canonica.
Si dimostra che esiste una decomposizione di Kosmann canonica del fibrato
tale che
![{\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)=T\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc6e2995ddb67231660e9240fdc28505bb9b8cd)
i.e., in ogni
si ha
dove
è la fibra sopra
del sottofibrato
di
. Con
si denota il sottofibrato verticale di
; in ogni
la fibra
è isomorfa allo spazio vettoriale delle matrici simmetriche
.
Dalla decomposizione canonica ed equivariante sopra riportata, segue che la restrizione
a
di un campo vettoriale
-invariante
definito sopra
si decompone nella somma di un campo vettoriale
-invariante
definito sopra
e di un campo vettoriale trasverso
.
In particolare, per ogni campo vettoriale
definito sopra la varietà di base
, segue che la restrizione
a
del suo rilevamento naturale
definito sopra
si decompone nella somma di un campo vettoriale
-invariante
definito sopra
, detto rilevamento di Kosmann di
, e di un campo vettoriale trasverso
.
- ^ L. Fatibene, M. Ferraris, M. Francaviglia e M. Godina, A geometric definition of Lie derivative for Spinor Fields, in J. Janyska, I. Kolář e J. Slovák (a cura di), Proceedings of the 6th International Conference on Differential Geometry and Applications, Brno, Czech Republic, Masaryk University, 28 agosto - 1 settembre 1995, pp. 549–558.
- ^ Marco Godina e Paolo Matteucci, Reductive G-structures and Lie derivatives, in Journal of Geometry and Physics, vol. 47, 2003, pp. 66–86.
- (EN) Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, New edition, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3.
- (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 4 gennaio 2020 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).