Problema della generalità multipla

Il problema della generalità multipla indica un fallimento della logica tradizionale nel descrivere alcune inferenze intuitivamente valide. Ad esempio, è intuitivamente chiaro che se:

Alcuni gatti sono temuti da ogni topo, allora è vero che Tutti i topi hanno paura di almeno un gatto.

La sintassi della logica tradizionale non consente di rappresentare correttamente proposizioni come questa che possiedono un doppio quantificatore (tutti e almeno; alcuni e ogni). Essa infatti possiede quattro forme che rappresentano soltanto un quantificatore: "Tutti gli A sono B", "Nessun A è B", "Alcuni A sono B" e "Alcuni A non sono B". Nella logica tradizionale, il secondo quantificatore è incorporato nel termine predicativo B, avendo la stessa struttura di frasi come "Alcuni A sono B", oppure "Tutti i C sono D", che sono chiaramente non valide.

Come alcuni commentatori riconobbero al suo autore, Gottlob Frege (nel suo Begriffsschrift del 1879) fu il primo autore a dare una rappresentazione corretta di questo tipo di proposizione.

Usando il calcolo predicativo moderno, si scoprirà che frasi di questo tipo sono ambigue. Ad esempi:

Alcuni gatti sono temuti da ogni topo,

potrebbe significare che (qualche gatto è temuto) da ogni topo (parafrasabile come ogni topo teme qualche gatto), cioè

Per ogni topo t, esiste un gatto g tale che g è temuto da m:

$\forall t.\,(\,{\text{Topo}}(t)\rightarrow \exists g.\,({\text{Gatto}}(g)\land {\text{Teme}}(t,g))\,)$

ovvero che un gatto è (temuto da ogni topo) (parafrasabile come C'è un gatto temuto da tutti i topi), cioè

Esiste un gatto g, tale che per ogni topo t, g è temuto da t.

$\exists g.\,(\,{\text{Gatto}}(g)\land \forall t.\,({\text{Topo}}(t)\rightarrow {\text{Teme}}(t,g))\,)$

Questo esempio illustra l'importanza di specificare l'ambito di tali quantificatori come per tutti ed esiste.

Bibliografia

• Patrick Suppes, Introduction to Logic, D. Van Nostrand, 1957, ISBN 978-0-442-08072-3.
• A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians, Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-29291-3.
• Paul Halmos and Steven Givant, Logic as Algebra, MAA, 1998, ISBN 0-88385-327-2.