Nucleo di Fejér

In matematica, il nucleo di Fejér è un'approssimazione dell'identità sul toro e viene applicato allo studio della serie di Fourier, come un'approssimazione all'identità dell'operatore di Fourier. Prende il nome dal matematico ungherese Lipót Fejér (1880 – 1959).

Grafico di nuclei di Fejér per differenti n.

Definizione

Il nucleo di Fejér è definito come

$F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{\vert j\vert \leq k}e^{ijx}$

Esso può anche essere espresso nel seguente modo:

$F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos x}}\right)$,

dove tale espressione è derivata dalla definizione classica, o nella forma

$F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}.$

Proprietà

Essendo un'approssimazione dell'identità sul toro, esso soddisfa le seguenti proprietà:

• $||F_{N}||_{1}\leq M$ con $M<\infty$
• $\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)dx=1$
• $\int _{\delta \leq \vert x\vert \leq \pi }F_{n}(x)dx\longrightarrow 0\ \ {\text{per}}\ \ n\longrightarrow +\infty$

Convoluzione

Per $f\geq 0$ di periodo $2\pi$ si ha

$0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy.$

Per la disuguaglianza di Young,

$\|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}$ per ogni $1\leq p\leq \infty$

per $f\in L^{p}$

Inoltre, se $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ si ha

$f*F_{n}\rightarrow f$ quasi ovunque

Poiché $[-\pi ,\pi ]$ ha misura finita, $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{p}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ il risultato sopra vale anche per gli altri spazi $L^{p}$, $p\geq 1$.

Bibliografia

• Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1. DOI https://doi.org/10.1007/BFb0069197.
• Konigsberger, Konrad. Analysis 1 (in German) (6th ed.). Springer. p. 322.

Voci correlate

• Nucleo di Dirichlet
• Somma di Cesaro
• Serie di Fourier
• Nucleo di sommabilità