Modello di Thomas-Fermi

Il modello di Thomas-Fermi, sviluppato da Llewellyn Thomas e da Enrico Fermi nel 1927, è un modello che descrive gli elettroni attorno al nucleo atomico come un sistema di fermioni interagenti tramite un potenziale $U({\vec {r}})$ agente sul singolo fermione, che contiene l'interazione con tutti gli altri (approssimazione di campo medio).

Teoria

Il punto di partenza è il modello a gas di Fermi: all'hamiltoniana non interagente viene aggiunto il termine di potenziale:

$H_{0}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+U({\vec {r}})$

di conseguenza i livelli energetici consentiti (gli autovalori dell'hamiltoniana) risultano funzioni della posizione. In particolare, l'energia di Fermi diventa:

$E_{F}={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}({\vec {r}})}{2m}}+U({\vec {r}})$

Si ricava, per la densità media del sistema di fermioni:

$\rho ({\vec {r}})={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-U({\vec {r}}))\right]^{3/2}$

Se i fermioni in questione sono elettroni, vale l'equazione di Poisson: $\nabla ^{2}U({\vec {r}})=-4\pi e^{2}\rho ({\vec {r}})$ . Combinando le due espressioni si ottiene l'equazione di Thomas-Fermi:

$\nabla ^{2}U({\vec {r}})={\frac {-4e^{2}}{3\pi }}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-U({\vec {r}}))\right]^{3/2}$

che necessita di una integrazione numerica.

Per un atomo di carica Ze a simmetria sferica, il potenziale può essere scelto come

$U({\vec {r}})={\begin{cases}-Ze^{2}(r)&{\text{ per r piccolo}}\\0&{\text{ per r grande}}\\\end{cases}}$

con alcune sostituzioni si ottiene una equazione generale, valida per qualsiasi Z:

${\frac {d^{2}\Phi (r)}{dx^{2}}}=x^{-1/2}[\Phi (x)]^{3/2}$

con:

$\Phi (r)={\frac {r}{Ze^{2}[E-U(r)]}}$

Bibliografia

• L. H. Thomas, Proc. Cambridge Phil. Soc. 23,542 (1927); E. Fermi, Rend. Lincei 6, 602 (1927); E. Fermi, Zeit. Phys. 48, 74 (1928).
• E. H. Lieb, Thomas-fermi and related theories of atoms and molecules, Rev. Mod. Phys. 53, 603 (1981).
• E. H. Lieb, Thomas-Fermi Theory, Kluwer Encyclopedia of Mathematics, Supplement vol. II, p. 455-457 (2000).
• S. Esposito, Majorana solution of the Thomas-Fermi equation, Am.J.Phys. 70, 852 (2002).
• E. Di Grezia, S. Esposito, Fermi, Majorana and the statistical model of atoms, Found. Phys. 34, 1431 (2004).