Loop (algebra)

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Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un loop consiste di un insieme non vuoto dotato di un'operazione binaria

tale che:

  1. esiste un elemento , detto neutro, tale che per ogni ;
  2. l'equazione ha un'unica soluzione ;
  3. l'equazione ha un'unica soluzione .

Talvolta, per semplicità, si omette il simbolo di operazione scrivendo invece di

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.

Loop, envelope e folder[modifica | modifica wikitesto]

Dato un loop definiamo alcune funzioni caratteristiche:

  • Le traslazioni sinistre:
  • Le traslazioni destre:
  • Le deviazioni centrali:
  • Le deviazioni sinistre:
  • Le deviazioni destre:

Tali funzioni ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono:

  • il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop;
  • il gruppo delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop;
  • il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni destre del loop.

Tali gruppi agiscono in modo naturale su come elementi del gruppo simmetrico su . In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.

La tripla dove è lo stabilizzatore in dell'elemento neutro e l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.

Viceversa, una tripla dove è un gruppo, è un sottogruppo di ed è un trasversale sinistro del quoziente per ogni prende il nome di folder.

Left loop e condizione di Bruck[modifica | modifica wikitesto]

Famiglie di loop[modifica | modifica wikitesto]

Loop di Moufang (da Ruth Moufang)[modifica | modifica wikitesto]

Si tratta di un loop che soddisfa l'identità per ogni in .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
  • La seguente identità

è equivalente a ciascuna delle seguenti:

Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un loop di Moufang.

  • Ponendo nelle precedenti identità uno degli elementi uguale all'elemento neutro, si ha

Pertanto, tutti i loop di Moufang sono alternativi.

  • Moufang ha dimostrato inoltre che il sottoloop generato da uno dei due elementi del loop di Moufang è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i loop di Moufang soddisfano l'associatività della potenza.
  • Quando si lavora con i loop di Moufang, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

Loop ottonionico[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Ottonioni.

Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.

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