Trasformazione isoentropica

In termodinamica, una trasformazione isoentropica è una trasformazione che avviene a entropia costante. Corrisponde a una trasformazione adiabatica reversibile.

La trasformazione isoentropica è un caso ideale, un caso limite. Nella realtà, e cioè per macchine che svolgono trasformazioni irreversibili, l'entropia tende ad aumentare per la presenza di irreversibilità di prima specie, derivanti da fenomeni dissipativi come l'attrito, e di seconda specie legate alla presenza di reazioni chimiche o elettromagnetiche presenti nel sistema.

Una trasformazione adiabatica reversibile è anche isoentropica. Infatti essendo reversibile varia l'entropia in misura uguale all'integrale di Clausius, che, nel caso adiabatico, vale zero.

Proprietà

La trasformazione isoentropica è un caso quasistatico della adiabatica, in cui l'entropia non aumenta.

Dal momento che l'energia scambiata dal sistema è nulla, l'equazione di Poisson implicita: diviene

$C_{v}\operatorname {d} \!T+p\operatorname {d} \!V=0$

Gas ideale

In base all'equazione di stato dei gas ideali si ottiene in assenza di lavoro isocoro per la legge di Poisson:

$C_{v}\operatorname {d} \!T+{\frac {NRT}{V}}\operatorname {d} \!V=0$.

cioè per quantità di sostanza:

$c_{v}\operatorname {d} \!T+{\frac {RT}{V}}\operatorname {d} \!V=0$.

che integrata nella temperatura e nel volume restituisce:

$T_{2}V_{2}^{\frac {R}{c_{v}}}=T_{1}V_{1}^{\frac {R}{c_{v}}}$

ovvero gli integrali primi (ovvero la legge di Poisson nelle sue varie forme) per la trasformazione isoentropica di un gas ideale sono:

${\begin{cases}TV^{\frac {R}{c_{v}}}&=\mathrm {costante} \\pV^{{\frac {R}{c_{v}}}+1}&=\mathrm {costante} \\Tp^{-1/(1+{\frac {c_{v}}{R}})}&=\mathrm {costante} \end{cases}}$

e quindi il lavoro di volume in base alla equazione di Poisson vale nella temperatura e nel volume:

$L=C_{v}T_{1}\left(1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)={\frac {c_{v}}{R}}p_{1}V_{1}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{R/c_{v}}\right]$

che si può anche esprimere nella pressione, tenendo conto degli integrali primi:

$L={\frac {c_{p}}{R}}p_{1}V_{1}\left[1-\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{R/c_{p}}\right]$

o se il sistema è chiuso nella densità numerica del fluido:

$L={\frac {c_{v}}{R}}p_{1}V_{1}\left[1-\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)^{R/c_{v}}\right]$

Per la relazione di Mayer per un gas ideale, il rapporto può essere espresso in funzione del coefficiente di dilatazione adiabatica:

${\frac {R}{c_{v}}}=\gamma -1$

quindi gli integrali primi (ovvero la legge di Poisson nelle sue varie forme) per la trasformazione isoentropica di un gas ideale sono:

${\begin{cases}TV^{\gamma -1}&=\mathrm {costante} \\pV^{\gamma }&=\mathrm {costante} \\Tp^{(1-\gamma )/\gamma }&=\mathrm {costante} \end{cases}}$

e quindi il lavoro di volume vale, in funzione della temperatura e del volume:

$L=C_{v}T_{1}\left(1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)=C_{v}T_{1}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}\right]$

che si può anche esprimere in funzione della pressione, tenendo conto degli integrali primi:

$L=C_{v}T_{1}\left[1-\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\right]$

o, se il sistema è chiuso, in funzione della densità numerica del fluido:

$L=C_{v}T_{1}\left[1-\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)^{\gamma -1}\right]$

ovvero, se la massa molare è costante, in funzione della massa volumica del fluido:

$L=C_{v}T_{1}\left[1-\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma -1}\right]$

Voci correlate

• Trasformazione adiabatica
• Trasformazione ciclica
• Trasformazione isobara
• Trasformazione isocora
• Trasformazione isoterma
• Trasformazione quasistatica

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