Identità sui logaritmi

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In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

Identità algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Le identità più semplici[modifica | modifica wikitesto]

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Semplificazione di calcoli numerici[modifica | modifica wikitesto]

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

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Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)[modifica | modifica wikitesto]

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

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Cambiamento della base[modifica | modifica wikitesto]

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log10, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log2. Per ottenere il valore di un numero come log2(3), si può calcolare log10(3) / log10(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

Identità utili al calcolo infinitesimale[modifica | modifica wikitesto]

Limiti[modifica | modifica wikitesto]

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile ".

Derivata delle funzioni logaritmiche[modifica | modifica wikitesto]

Integrali di funzioni logaritmiche[modifica | modifica wikitesto]

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

dove è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

Di conseguenza


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