Cammino hamiltoniano

Cammino hamiltoniano in un grafo a forma di dodecaedro

Esempi di cicli hamiltoniani su un grafo a griglia quadrata 8х8

Nel campo matematico della teoria dei grafi, un cammino in un grafo (orientato o non orientato) è detto hamiltoniano se esso tocca tutti i vertici del grafo una e una sola volta. Determinare se questo cammino esista è un problema NP-completo. In termini rigorosi, la determinazione di un cammino hamiltoniano è la ricerca di una permutazione $(p_{0},p_{1},...,p_{n-1})$ dei nodi tale che $(p_{i},p_{i+1})\in E$ per ogni $0\leq \ i\leq \ n-2$ dove con E si intende l'insieme di archi del Grafo.

Si ha un ciclo hamiltoniano quando in un cammino hamiltoniano esiste un arco che collega l'ultimo vertice con il primo, realizzando così un ciclo che visita tutti i vertici per poi ritornare al punto di partenza.

Sir William Rowan Hamilton (1805–1865)

Un grafo che contenga almeno un ciclo hamiltoniano viene detto grafo hamiltoniano.

Questi particolari cammini hanno preso il nome da William Rowan Hamilton che inventò un gioco da tavolo, il puzzle di Hamilton o icosian game, che consisteva nel trovare un cammino chiuso sul bordo di un dodecaedro.

Teorema di Bondy-Chvátal

Il migliore risultato relativo ai cicli hamiltoniani è dovuto a Bondy e Chvátal che nel 1976 provarono l'omonimo teorema che generalizza i risultati precedenti di Dirac e di Ore. L'enunciato utilizza la definizione di chiusura di un grafo che viene di seguito richiamata.

Chiusura di un grafo

Sia $G$ un grafo di $n$ vertici. La chiusura di $G$, $[G]$, si costruisce aggiungendo degli archi a $G$ che permettano di connettere due vertici non adiacenti $v$ e $w$ e tali che $deg(v)+deg(w)\geq n$. L'aggiunta di archi continua ricorsivamente finché non è possibile più trovare dei vertici che soddisfino la relazione sopra scritta.

Enunciato

Un grafo $G$ è Hamiltoniano se e solo se la sua chiusura $[G]$ è Hamiltoniana.

Corollari

• Il teorema di Ore fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria affinché un grafo abbia un ciclo hamiltoniano; in particolare afferma che dato un grafo $G$ con $n\geq 3$ vertici, se per ogni coppia di vertici non adiacenti $v$ e $w$ vale $deg(v)+deg(w)\geq n$ allora il grafo è Hamiltoniano. Esso è un caso speciale del teorema di Bondy e Chvátal in quanto se vale $deg(v)+deg(w)\geq n$ per ogni coppia di vertici non adiacenti di $G$, allora $[G]=K_{n}$, dove $K_{n}$ rappresenta un grafo completo di $n$ vertici e $K_{n}$ è ovviamente Hamiltoniano.
• Il teorema di Dirac è, a sua volta, un corollario del teorema di Ore e afferma che un grafo $G$ di $n\geq 3$ vertici, tale che $deg(v)\geq {\frac {n}{2}}$ per ogni $v\in G$, è hamiltoniano.

Bibliografia

• Martin Gardner, Il gioco dell'icosaedro e la torre di Hanoi, in Enigmi e giochi matematici, Milano, Rizzoli, 2001 [1959], ISBN 88-17-12747-7.
• Andrian Bondy M. Ram Murty, Graph Theory, Springer, 2011, ISBN 978-1-84628-969-9.

Voci correlate

• Cammino euleriano

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Collegamenti esterni

• (EN) Hamilton circuit, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cammino hamiltoniano, su MathWorld, Wolfram Research.