Funzione antiolomorfa

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In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte da quest'ultime.

Una funzione definita in un insieme aperto nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se e sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a è identicamente nulla in . Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a sia nulla.

Dalla relazione segue che è antiolomorfa se e solo se è olomorfa.

Osserviamo che se è una funzione olomorfa in un insieme aperto , allora è una funzione antiolomorfa in , dove è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme ; in altre parole, è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di . Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da che da non può essere olomorfa né antiolomorfa.

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