Disuguaglianza dei fratelli Markov

In teoria della probabilità e statistica, la disuguaglianza dei fratelli Markov è una diseguaglianza dimostrata da Andrej Markov jr. per $k=1$ e da suo fratello Vladimir per $k=2,3,\dots$. Essa afferma quanto segue.

Se $P$ è un polinomio di grado $\leq n$, allora

$\max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|.$

L'uguaglianza è soddisfatta dai polinomi di Chebyshev di prima specie.

Bibliografia

• N. I. Achiezer (Akhiezer), Theory of approximation, Tradotto dal russo e con una prefazione di Charles J.Hyman, Dover Publications, Inc., New York, 1992. x+307 pp.
• A. A. Markov, On a question by D. I. Mendeleev, Zap. Imp. Akad. Nauk SPb. 62 (1890), 1-24
• V. A. Markov, O funktsiyakh, naimeneye uklonyayushchikhsya ot nulya v dannom promezhutke (1892). Pubblicato in tedesco con la prefazione di Sergei Bernstein: Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen, Math. Ann. 77 (1916), 213-258