Discussione:Legge dei grandi numeri

Riguardo alla legge dei grandi numeri, non e' del tutto appropriato affermare che tale legge e' il fondamento della definizione frequentista di probabilita'.

La legge dei grandi numeri descrive il comportamento di una frequenza relativa al crescere del numero delle prove in termini probabilistici. L'enunciazione della legge richiede di avere gia' definita la probabilita', anche perche' senza probabilita' non si definisce l'indipendenza. (Risposta di anonimo: la probabilità in termini matematici (non induttivi) si definisce oggi con gli assiomi di Kolmogorov (che sono i 3 definiti anche nella Wikipedia inglese, non i 5 contenuti alla voce probabilità di quella italiana). La legge dei grandi numeri tra le altre cose può essere letta (coi limiti di ogni modello) come un legame tra la teoria formale e astratta della probabilità (di Kolmogorov) e la frequenza in cui un evento si verifica se l'esperimento viene ripetuto con ripetizioni indipendenti, cosa molto legata alla definizione frequentista della probabilità. So che alcune università dicono di usare la definizione frequentista, ma di solito non è vero, perché quella non è puramente matematica, è induttiva e parte dall'esperienza, ovvero è basata sulla pratica degli esperimenti. La definizione più accettata di probabilità in cui si dimostrano tutti i teoremi è quella dei tre assiomi di Kolmorogorov, che di per sé non ha un legame con la realtà. Quindi la legge come dici richiede già la probabilità ovviamente, ed è quella di Kolmogorov. La definizione frequentista è fattibile anche senza la legge dei grandi numeri, ma di solito si parte dalla probabilità di Kolmorogorov, che è deduttiva e di per sé astratta, e si arriva alla legge dei grandi numeri che è il primo legame che uno studente può leggere tra la probabilità e il mondo reale).

La definizione frequentista fa appello alla legge empirica del caso. Secondo tale legge l'approssimarsi della frequenza relativa ad una valore fisso avviene in modo empirico. Non e' quindi la convergenza dell'analisi matematica, ne quella stocastica. — Questo commento senza la firma utente è stato inserito da 213.206.148.225 (discussioni · contributi) 15:22, 14 set 2004 (CEST). In effetti la "legge empirica del caso" non è un sinonimo della legge dei grandi numeri. Con "legge dei grandi numeri" si intende infatti uno dei teoremi esposti. In questo la definizione data all'inizio della voce è sbagliata ed alimenta la confusione anzichè ridurla.

Teoremi limite centrale?

mi sfugge l'accostamento della legge dei grandi numeri ai teoremi del limite centrale, questi ultimi riguardano convergenze a variabili gaussiane, la lgn riguarda una convergenza a un numero certo. Lacurus 16:46, ott 22, 2005 (CEST)

Qualcosa per il volgo

A parte complimentarmi con i "soloni" che hanno così ben definito la lgn con i loro bei paroloni, considerando che wikipedia è un'enciclopedia aperta anche a me, che ne direste di spendere due parole due in maniera da rendere comprensibile la suddetta lgn? Qualcosa tipo: la lgn afferma che all'aumentare del numero delle prove effettuate la frequenza di un evento tende alla sua probabilità. Magari non sarà il massimo in termini matematici o statistici o probabilistici, ma è qualcosa che un ignorante come me riesce a capire.

saluti, p. — Questo commento senza la firma utente è stato inserito da 213.45.250.36 (discussioni · contributi) 17:01, 16 nov 2005 (CET).

Calma, calma... a parte che, dato che apparentemente sai di cosa si tratta, potresti benissimo aggiungere tu due righe esplicative (se non tocchi la parte matematica credo che nessuno te le toglierebbe), avevo messo precedentemente, oltre alla definizione matematica, una spiegazione pratica che servisse proprio per non-matematici. A quanto pare Amanconi nella foga di precisare l'ha cassata: vedrò di reintrodurla. --Kormoran 21:02, 16 nov 2005 (CET)

Se ti riferisci a questo pezzo:

<cito da vecchia versione> Questa legge afferma che la stima della probabilità di un evento ricavata da un certo numero di prove (data dalla variabile di Bernoulli) converge alla probabilità vera dell'evento all'aumentare del numero di prove: supponiamo di avere un evento che può verificarsi oppure no (come il fatto che lanciando un dado esca il sei) con probabilità sconosciuta $X_{v}$ (sconosciuta perchè il dado potrebbe essere truccato, o semplicemente difettoso: non possiamo saperlo in anticipo).

Per esempio, eseguendo n lanci consecutivi otteniamo una stima della probabilità di fare sei con quel dado, data dalla veriabile di Bernoulli

$X(n)={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$

dove le X della somma rappresentano l'esito dei lanci e valgono uno se in quel lancio è uscito il sei, o zero se è uscito un altro numero. La legge dei grandi numeri afferma semplicemente che

$\lim _{n\to \infty }X(n)=X_{v}$

cioè che tante più prove usiamo per calcolare la stima, tanto più questa sarà vicina, probabilmente, alla probabilità reale dell'evento. La convergenza di questo limite si dimostra con la diseguaglianza di Cebicev.

Per concludere l'esempio, se la nostra stima X(n) sarà molto vicina a un sesto, che è la probabilità teorica che esca il sei per un dado perfetto, potremo essere ragionevolmente certi che il dado in questione non è polarizzato per il sei (per essere sicuri che il dado non sia truccato in nessun modo dovremmo ripetere il test anche per gli altri cinque numeri). Che cosa significhi ragionevolmente sicuri dipende da quanto vogliamo essere precisi nel nostro test: con dieci prove avremmo una stima grossolana, con cento ne otterremmo una molto più precisa, con mille ancora di più e così via: il valore di n che siamo disposti ad accettare come sufficiente dipende dal grado di casualità che riteniamo necessario per il dado in questione. <fine citazione>

il colpevole dell'eliminazione sono io, nella foga di dare una formulazione più precisa, inoltre mi pareva legasse troppo la lgn al concetto di stimatore, però provo a reinserirlo al posto dell'esempio che c'è adesso (modifico un paio di dettagli) --Lacurus 11:34, 17 nov 2005 (CET)

Qualche dettaglio sulla sezione "Con maggiore rigore"

Chiedo a voi Wikipediani matematici professionisti di delucidare me (e potenzialmente altri lettori) su un punto fondamentale: come si riconciliano gli enunciati delle leggi dei grandi numeri dati nella sezione "Con maggiore rigore" con quelli dati nella prima parte dell'articolo? In altri termini, come posso ricondurre la media campionaria di una successione di variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite alla frequenza di successo di una successione di variabili aleatorie bernoulliane i.i.d.?

Inoltre, sia nella prima parte di questo articolo che nel Mood, Graybill, Boes, Introduzione alla Statistica, edito da MacGraw Hill, la legge debole dei grandi numeri è enunciata sotto l'ipotesi che esistano finite media e varianza della distribuzione da cui è estratto il campione. Nella sezione "Con maggiore rigore" di questo articolo invece le due leggi dei grandi numeri vengono enunciate senza fare esplicitamente ipotesi sull'esistenza della media e della varianza. (Per altro, non mi è neanche chiaro che si stia facendo riferimento ad una successione di variabili aleatorie!) Come mai?

Ringrazio chi vorrà fare chiarezza su questi punti.

Alessandro Baretta — Questo commento senza la firma utente è stato inserito da 79.31.151.177 (discussioni · contributi) 10:36, 20 giu 2009 (CEST).

Errore nelle spiegazioni non formali della Legge dei grandi numeri

"la media della sequenza è un'approssimazione, che migliora al crescere di n, della media della distribuzione"

È falso. Non migliora al crescere di n, ma la probabilità che per n tendente all'infinito siano uguali è 1 (come è giustamente trascritto sotto la formula)...non è assolutamente detto che ci arrivi in modo crescente né monotono...infatti per ogni fissato n tutto quello che accade prima del passo n può essere del tutto irrilevante che la legge continuerebbe ad avere valore...si tratta di una legge che descrive un comportamento in un intorno di infinito e non dice assolutamente nulla di nulla di cosa succede "al crescere di n" e di certo non dice che l'approssimazione migliora! Considerando poi quella debole, addirittura, se fisso un epsilon so solo che il limite (sempre per n che tente a infinto!!) delle probabilità che si discosti da epsilon è 1 ovvero non è nemmeno detto che converga.

"viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte mostreranno una media tanto più spesso e tanto più precisamente prossima alla media della distribuzione quanto più grande sarà n"

Anche questo è falso, come sopra e per lo stesso motivo. La legge dei grandi numeri non parla mai, in nessuno dei due casi di cosa succede al crescere di n o di cosa accade quando n diventa "più grande" rispetto a momenti precedenti...il comportamento di una variabile casuale e della sua media di passo in passo e nel confronto tra due passi successivi qualunque è, appunto, casuale! La legge parla di un comportamento al limite, qualunque descrizione che non coinvolga tale concetto è sbagliata.

Nell'esempio poi :" La legge dei grandi numeri afferma semplicemente che, tante più prove usiamo per calcolare la stima, tanto più questa sarà vicina, probabilmente, alla probabilità reale dell'evento p" no, falso, la legge dei grandi numeri dice, semplicemente, che con una quantità di lanci tendente a infinito raggiungo la media quasi certamente, quindi senza mai far riferimento a "tanto più...quanto più": queste sono proprietà di monotonia a cui la legge dei grandi numeri non fa alcun riferimento. Ancora peggio è quanto scritto dopo ovvero l'imbarazzante affermazione che "Che cosa significhi ragionevolmente sicuri dipende da quanto vogliamo essere precisi nel nostro test: con dieci prove avremmo una stima grossolana, con cento ne otterremmo una molto più precisa, con mille ancora di più e così via: il valore di n che siamo disposti ad accettare come sufficiente dipende dal grado di casualità che riteniamo necessario per il dado in questione." ...10 grossolano e 100 molto più precisa?! ma potrebbe discostarsi del tutto dalla media per i primi 100^(100^100) passi [irrealizzabili da alcun essere vivente o non vivente nel nostro universo], poi cominciare a convergere e la legge dei grandi numeri sarebbe comunque soddisfatta...dire che 100 è molto più preciso di 10 mi pare davvero un po' inopportuno.

Spero di non essere ignorato o censurato di nuovo. Sono proprio le convinzioni trasmesse ora da wiki (nemmeno con riserbo) la causa principale di tante dipendenze e morti per gioco d'azzardo. Fossero vere almeno... Dal mio punto di vista qui, con la visibilità di wikipedia l'attenzione a questi aspetti dovrebbe essere massima e, anzi, bisognerebbe enfatizzare l'errore nel pensiero comune, non assecondarlo. Si tratta di due cose della massima importanza: la vita delle persone e (anche ignorando la prima) della verità.

Cordialmente,

Corrado Lanera.

Sig. Lanera, una spiegazione informale, in parole semplici, è assolutamente necessaria. Per il 95% (e voglio essere ottimista) dei lettori di Wikipedia tutti i teoremi e le formule in questa voce non significano NIENTE. Per capire, la stragrande maggioranza ha solo le parole che io ho scritto (e reintrodotto ora). I sofismi matematici non servono per la comprensibilità della voce, anzi sono d'intralcio, e non sono nemmeno necessari: i matematici hanno già tutte le formule necessarie senza andarsi a fissare sulle chiacchiere iniziali. Wikipedia non è un trattato di matematica ma un'opera di divulgazione: per cui l'esigenza divulgativa ha la priorità sulle sue, pur giuste, precisazioni. --Kormoran (msg) 18:26, 8 nov 2014 (CET)