Discussione:Formula di Erone

Ricavare l'area di un triangolo noti i lati a, b, c, senza usare la trigonometria non è affatto complicato, basta il teorema di Pitagora. Dai triangoli rettangoli BCH e ACH, dove H è il piede dell'altezza, si trova immediatamente che la distanza x del piede H dal vertice A è x = (a^2+c^2-b^2)/(2c). L'altezza h si ricava quindi dal suo quadrato h^2 = a^2 - x^2. Svolgendo l'area A = 1/2 c h si trova sotto radice il medesimo polinomio che si ottiene eseguendo i quattro prodotti della formula di Erone: 2(bc)^2 + (ca)^2 + 2(a^b)^2 - (a^4 + b^4 + c^4). Ma facendo anche a sotto radice e poi sottraendolo al risultato di prima viene il secondo risultato giusto.

ALTERNATIVA ALLA FORMULA DI ERONE

Avendo a disposizione due dati e cioè la SOMMA QUADRATICA e la SOMMA BIQUADRATICA dei lati di un triangolo è possibile calcolare l'area di un triangolo;

                                 SOMMA QUADRATICA dei lati:a^2+b^2+c^2 
                                 SOMMA BIQUADRATICA dei lati:a^4+b^4+c^4

ora descrivo la formula

                   AREA=1/4*RADICE QUADRATA((a^2+b^2+c^2)^2-2*(a^4+b^4+c^4))

                  legenda:
                  ^:simbolo utilizzato per l'elevamento a potenza;
                  /:simbolo di divisione;
                 *:simbolo di moltiplicazione.

Altra formula alternativa a quella di Erone

Lati del triangolo a, b, c Vertici A=(x,y), B=(0,0), C=(a, 0) Distanze AB^2 = x^2 + y^2 = c^2; AC^2 = (x-a)^2 + y^2 sottraendo x = (a^2 + c^2 - b^2)/(2a) da cui l'altezza rispetto al lato a: y = c^2 - x^2 e quindi l'area S = a y / 2

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